N và D là điểm nào thế??

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{MD}\right|\)

( I là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC)

\(\Rightarrow MI=MD\)

\(\Rightarrow M\) là điểm thuộc đường trung trực của đoạn ID

#baoquyen

Do M thuộc Ox, gọi \(M\left(x;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-x;-4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(4-x;5\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(-x;-7\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(9-3x;6\right)\\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(4-2x;-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow Q=2\sqrt{\left(9-3x\right)^2+5^2}+3\sqrt{\left(4-2x\right)^2+\left(-2\right)^2}\)

\(Q=2\sqrt{9\left(3-x\right)^2+25}+3\sqrt{4\left(x-2\right)^2+4}\)

\(Q=6\left(\sqrt{\left(3-x\right)^2+\dfrac{25}{9}}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\right)\)

\(Q\ge6\sqrt{\left(3-x+x-2\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}+1\right)^2}=2\sqrt{73}\)

Vậy \(Q_{min}=2\sqrt{73}\) khi \(x=\dfrac{77}{34}\)

Bạn tự vẽ hình nhé. 

K là giao điểm của 2 đường phân giác BD và CE => AK là phân giác của góc A (Vì 3 đường phân giác đồng quy tại 1 điểm)

Mà tam giác ABC cân tại A => Phân giác góc A cũng chính là trung tuyến => AK qua trung điểm của BC

(Hoặc bạn có thể chứng minh cụ thể như sau: Kéo dài AK cắt BC tại M

Xét 2 t.g AMB và AMC có:

- AM chung

- g. BAM = CAM (vì AK là phân giác; K thuộc AM)

-AB = AC (2 cạnh bên của tam giác cân ABC)

=> t.g AMB = t. AMC (C.G.C) => MB = MC => M là trung điểm của BC.)

\

Do Tam giác ABC cân tại A => AB =AC => 1/2AB=1/2AC=> AM=BM=AN=CN

Xét tam giác CMB và tam giác BNC có :

BC chung

MB=NC

Góc MBC = góc NCB( tam giác ABC cân tại A)

=> tam giác CMB=tam giác BNC

=> BM = CN ( cặp cạnh tương ứng)

Kẻ \(AH\perp BC\). Đặt BH = x thì \(CH=60-x\)

Xét tam giác vuông ABH có: \(AH=tan50^o.x\)

Xét tam giác vuông ACH có: \(AH=tan37^o.\left(60-x\right)\)

Vậy nên ta có: \(tan50.x=tan37^o.\left(60-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(tan50^o+tan37^o\right).x=tan37^o.60\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{tan37^o.60}{tan50^o+tan37^o}\)  (cm)

Vậy thì \(AB=\frac{x}{cos50^o}=\frac{tan37^o.60}{cos50^o\left(tan50^o+tan37^o\right)}\)  (cm)

\(AH=x.tan50^o=\frac{tan50^o.tan37^o.60}{\left(tan50^o+tan37^o\right)}\)  (cm)

\(AC=\frac{AH}{sin37^o}=\frac{tan50^o.60}{cos37^o\left(tan50^o+tan37^o\right)}\)  (cm)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{30tan50^o.tan37^o.60}{tan50^o+tan37^o}=\frac{1800tan50^o.tan37^o}{tan50^o+tan37^o}\left(cm^2\right)\)