Trước hết ta chứng minh nếu y là số chẵn thì y² cũng là số chẵn.
Thật vậy, đặt y = 2n thì \(y^2=4n^2\) luôn là một số chẵn.

Với mọi x là số tự nhiên thì 4x luôn là một số chẵn, vậy y² phải là số chẵn. Áp dụng điều trên ta được y cũng là một số chẵn.

Đặt y = 2k (k thuộc N^*) . Khi đó \(4x+y^2=4x+\left(2k\right)^2=4\left(x+k^2\right)\) luôn chia hết cho 4. Trong khi đó vế phải không chia hết cho 4 => Mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại giá trị x,y thỏa mãn đề bài.

làm được thì đã ghi rồi

Có x^2 + 2xy + 4x + 4y + 2y^2 + 3 = 0

--> (x+y)^2 + 4(x+y) + 4+ y^2 - 1 = 0

--> (x+y+2)^2 + y^2 = 1

-->(x+y+2)^2 <= 1 ( vì y^2 >=1)

--> -1 <= x+y+2 <=1

--> 2015 <= x+y+2018 <= 2017

hay 2015 <= Q , dau bang xay ra khi x+y+2=-1 --> x+y=-3

Q<=2017, dau bang xay ra khi  x+y+2=1 --> x+y=-1

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2015 khi x+y =-3

 giá trị lớn nhất của Q là 2017 khi x+y=-1

giá trị lớn nhất là 2017