Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, AB=a,SA=b. Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên SA,SB,SC,SD. M', N',, P', Q' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q trên (ABCD) Biết MNPQM'N'P'Q' là hình hộp chữ nhật có MN=2MM'.Tính diện tích của MNPQM'N'P'Q'
Những câu hỏi liên quan
trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
15 tháng 7 2023 lúc 23:27
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành,
Xét tam giác SAB ta có: MN là đường trung bình suy ra MN // AB.
Tương tự ta có: NP // BC, PQ // CD, MQ // AD.
Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD// CD, suy ra MN // PQ, MQ // NP.
Như vậy, MNPQ là hình bình hành.
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1: cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , BAD=ABC= 90 độ. Cạnh AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc ( ABCD ), Sa=2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính theo a thể tích khối chóp S.BCNM
Bài 2: cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a; SA = a\(\sqrt{2}\) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB,SD. Tính theo a thể tích của khối tứ diện A.MNP
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $SC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường thẳng $AN$ sao cho $OP perp AM$. Chứng minh rằng: $$frac{PM}{PN} frac{1}{3}.$$ **Lời giải:** Áp dụng định lí Menelaus lần lượt trên tam giác $ABC$ và $ACD$, ta có: $$frac{SM}{SB}cdot frac{BO}{OC}cdot frac{CQ}{QA} 1,$$ $$frac{SD}{SC}cdot frac{CO}{OB}cdot frac{BP}{...
Đọc tiếp
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $SC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường thẳng $AN$ sao cho $OP \perp AM$. Chứng minh rằng: $$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{3}.$$ **Lời giải:** Áp dụng định lí Menelaus lần lượt trên tam giác $ABC$ và $ACD$, ta có: $$\frac{SM}{SB}\cdot \frac{BO}{OC}\cdot \frac{CQ}{QA} = 1,$$ $$\frac{SD}{SC}\cdot \frac{CO}{OB}\cdot \frac{BP}{PA} = 1,$$ trong đó $Q$ là giao điểm của $SN$ và $OM$. Do đó, ta có: $$\frac{SM}{SB} = \frac{SC}{SO},$$ $$\frac{SD}{SC} = \frac{SB}{SO}.$$ Tiếp theo, ta chứng minh $AP \parallel DC$. Ta có $\angle BSA = 90^{\circ}$ và $\angle BSC = \angle DSC$ nên tam giác $BSD$ vuông cân tại $S$. Do đó $SM = NS$. Khi đó, ta có: $$\frac{SM}{SB} = \frac{NS}{NB} = \frac{1}{2}.$$ Từ đó ta suy ra $\frac{SC}{SO} = \frac{1}{2}$, hay $SO = 2SC$. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $SBO$ ta có: $SB = \sqrt{2}a$. Mặt khác, ta có $OM = \frac{1}{2}a$ và $OS = \frac{2}{3}SC = \frac{1}{3}a$, suy ra $BM = \frac{\sqrt{2}}{2}a$ và $BO = \frac{\sqrt{6}}{2}a$. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $SDO$ ta có: $SD = \sqrt{6}a$. Mặt khác, ta có $ON = \frac{1}{2}a$ và $OS = \frac{2}{3}SC = \frac{1}{3}a$, suy ra $DN = \frac{\sqrt{2}}{2}a$ và $DO = \frac{\sqrt{6}}{2}a$. Ta có $AP \parallel DC$ khi và chỉ khi: $$\frac{BP}{PA} = \frac{AD}{DC} = \sqrt{2} - 1,$$ trong đó ta đã sử dụng tính chất hình học của hình vuông. Từ định lí Menelaus cho tam giác $ACD$, ta có: $$\frac{AD}{CD}\cdot \frac{CP}{PA}\cdot \frac{NB}{ND} = 1.$$ Do đó, ta có: $$\frac{BP}{PA} = \frac{AD}{CD}\cdot \frac{ND}{NB} = (\sqrt{2} - 1)\cdot \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}.$$ Ta cũng có thể tính được $\frac{PM}{PN}$ bằng cách sử dụng định lí Menelaus cho tam giác $ANB$: $$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{MB}{MN}\cdot \frac{SN}{SA} = 1,$$ từ đó ta có: $$\frac{PM}{PN} = \frac{SN}{SM}\cdot \frac{PB}{PA}\cdot \frac{MB}{NB} = \frac{2}{1}\cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a} = \frac{1}{3}.$$ Vậy $\frac{PM}{PN} = \frac{1}{3}$, ta đã chứng minh được bài toán.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA,SB,SC,SD lần lượt tại M,N,P,Q. Gọi M,N,P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tỉ số SM/SA bằng bao nhiêu để thể tích khối đa diện MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị lớn nhất. A.
2
3
B.
1
2
C.
1...
Đọc tiếp
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA,SB,SC,SD lần lượt tại M,N,P,Q. Gọi M',N',P',Q' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tỉ số SM/SA bằng bao nhiêu để thể tích khối đa diện MNPQ.M’N’P’Q’ đạt giá trị lớn nhất.
A. 2 3
B. 1 2
C. 1 3
D. 3 4
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SAa và SAB
11
π
24
. Gọi Q là trung điểm cạnh SA. Trên các cạnh SB,SC,SD lần lượt lấy các điểm M,N,P không trùng với các đỉnh hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng AM+MN+NP+PQ theo a
Đọc tiếp
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA=a và SAB= 11 π 24 . Gọi Q là trung điểm cạnh SA. Trên các cạnh SB,SC,SD lần lượt lấy các điểm M,N,P không trùng với các đỉnh hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng AM+MN+NP+PQ theo a
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA a và
S
A
B
⏜
11
π
24
.
Gọi Q là trung điểm của cạnh SA. Trên các cạnh SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm M, N, P không trùng với các đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng...
Đọc tiếp
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = a và S A B ⏜ = 11 π 24 . Gọi Q là trung điểm của cạnh SA. Trên các cạnh SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm M, N, P không trùng với các đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A M + M N + N P + P Q theo a
A. a 2 sin 11 π 24 3
B. a 3 2
C. a 2 4
D. a 3 sin 11 π 12 3
Chọn đáp án B
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên là một tam giác cân tại đỉnh S.
Theo giả thiết ta có
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ bên sao cho khí ghép lại thì A ≡ A '
Suy ra A S A ' ⏜ = 4 . A S B ⏜ = π 3 và ∆ S A A ' đều cạnh SA = a
Khi đó tổng AM + MN + NP + PQ là tổng của các đường gấp khúc.
Tổng này đạt nhỏ nhất bằng AQ nếu xảy ra trường hợp các điểm A, M, N, P, Q thẳng hàng.
Mà ∆ S A A ' đều có Q là trung điểm SA nên A Q = S A 3 2 = a 3 2
Vậy m i n A M + M N + N P + P Q = a 3 2
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho khối chóp
S
.
A
B
C
D
có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M , N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng
A
B
C
D
.
Tính tỉ số
S
M...
Đọc tiếp
Cho khối chóp S . A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M' , N', P', Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng A B C D . Tính tỉ số S M S A để thể tích khối đa diện M N P Q . M ' N ' P ' Q ' đạt giá trị lớn nhất.
A. 2 3
B. 1 2
C. 1 3
D. 3 4
Đáp án A
Đặt S M S A = x , vì mặt phẳng M N P Q song song với đáy
Suy ra M N A B = N P B C = P Q C D = M Q A D = x ( định lí Thalet).
Và d M ; A B C D d S ; A B C D = M A S A = 1 − S M S A = 1 − x ⇒ M M ' = 1 − x × h .
Mặt khác d t M N P Q = x 2 × d t A B C D nên thể tích khối đa diện
M N P Q . M ' N ' P ' Q ' là V = M M ' x d t M N P Q
= 1 − x x 2 × h × d t A B C D = 3 x 2 − x 3 × V S . A B C D .
Khảo sát hàm số f x = x 2 − x 3 → m ax 0 ; 1 f x = 4 27 .
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2 3 .
Vậy S M S A = 2 3 thì thể tích khối hộp M N P Q . M ' N ' P ' Q ' lớn nhất.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB,SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số
S
M
S
A
để thể tích khối đa diện
M
N
P
Q
.
M...
Đọc tiếp
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB,SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M', N', P', Q' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số S M S A để thể tích khối đa diện M N P Q . M ' N ' P ' Q ' đạt giá trị lớn nhất.
A. 1 3
B. 3 4
C. 2 3
D. 1 2
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M , N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD) Tính tỉ số
S
M
S
A
để thể tích khối đa diện
M
N
P
Q
.
M
N
P...
Đọc tiếp
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M' , N', P', Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD) Tính tỉ số S M S A để thể tích khối đa diện M N P Q . M ' N ' P ' Q ' đạt giá trị lớn nh
A. 2/3
B. 1/2
C. 1/3
D. 3/4
Đáp án A
Ta có: S M S A = x = M N A B ⇒ M N = x . A B
Tương tự M Q = x A D
M M ' S H = A M S A = 1 − x ⇒ M M ' = 1 − x S H
Do đó V M N P Q . M ' N ' P ' Q ' = x 2 1 − x . A B . A D . S H .
Xét hàm số f x = x 2 1 − x = x 2 − x 3 ⇒ f ' x = 2 x − 3 x 2
Do đó f ' x = 0 ⇔ x = 2 3 .
Vậy V M N P Q . M ' N ' P ' Q ' = x 2 1 − x . A B . A D . S H lớn nhất khi S M S A = 2 3 .
Đúng 0
Bình luận (0)