tổng của các phân số cùng mẫu luôn có giá trị của tử thấp hơn giá trị của mẫu => tử không bằng mẫu => A không nguyên

Ta có :

\(A>\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+.....+\frac{1}{15}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{10}{15}>1\)

\(A< \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+.....+\frac{1}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{9}{7}< 2\)

\(\Rightarrow1< A< 2\)

\(\Rightarrow A\)không phải là số nguyên

Vậy A không phải là số nguyên 

Ta có

\(A\)\(>\frac{1}{4}\)\(+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+...+\frac{1}{15}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{10}{15}>1\)

\(S=1-\frac{1}{4}+1-\frac{1}{9}+......1-\frac{1}{n^2}=n-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+....\frac{1}{n^2}\right)\Rightarrow S< n\)
mặt khác \(S=n-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)>n-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n-1\right)}\right)=n-\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
suy ra \(S>n-1+\frac{1}{n}\Rightarrow S>n-1\)
vậy ta có \(n-1< S< n\)nên S không thể là số nguyên.

Ta có: 

S=1−14 +1−19 +......1−1n2 =n−(14 +19 +....1n2 )⇒S<n
mặt khác S=n−(122 +132 +...+1n2 )>n−(11.2 +12.3 +...+1n(n−1) )=n−(1−1n )
suy ra 

S>n−1+1n ⇒S>n−1
vậy ta có n−1<S<nnên S không thể là số nguyên.

Ta thấy các phân số của tổng S khi quy đồng mẫu số chứa lũy thừa của 2 với số mũ lớn nhất là 2⁴

Như vậy, khi quy đồng mẫu số, các phân số của S đều có tử chẵn, chỉ có phân số \(\frac{1}{16}\) có tử lẻ

Do đó S có tử lẻ mẫu chẵn, không là số tự nhiên (đpcm)

help me every body! Thanks

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)

\(=\left(1+1+1+...+1\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

\(=n+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n\left(1\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

...........

\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{n^2}\right)>-1\)

\(\Rightarrow S=n+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)>n+\left(-1\right)=n-1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => n - 1 < S < n 

Mà n - 1 và n là 2 số liên tiếp 

Vậy ....

1) Tính C

\(C=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+....+\frac{n-1}{n!}\)

\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{n!}\)

3) a) Ta có : \(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\left(đpcm\right)\)

Thanks !!! 

bạn ơi bài này có trong bùi văn tuyên

\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{100}< 1\)

\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{100}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{99.100}\)

\(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(A< 1-\frac{1}{100}\)

\(A< \frac{99}{100}< 1\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\text{ ko phải là 1 số tự nhiên ( đpcm )}\)

bạn tiến làm hoi tắt

Ta thấy khi quy đồng mẫu số các phân số của tổng trên, mẫu chứa lũy thừa của 2 với số mũ lớn nhất là 2⁴, như vậy, sau khi quy đồng, các phân số đều có tử chẵn chỉ có phân số 1/16 có tử lẻ

=> tổng trên có tử lẻ, mẫu chẵn, không là số nguyên ( đpcm)

Gọi biểu thức trên là C.

Ta có:C>0, từ 19 tới 11 có 19-11/1 + 1=9 số

Ta có 1/11>1/12>1/13>...>1/19 ==> C<1/11+1/11+...+1/11(9 số 11)

Do 9/11<1 ==> 0<C<1 <==> C ko phải là số nguyên.