Đặt: \(A=\left(n^2+10\right)^2-36n^2\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Vì \(n\in N\Rightarrow n^2+6n+10\ge10\)

Điều kiện cần để A là số nguyên tố:

     \(n^2-6n+10=1\)

\(\Rightarrow n^2-6n+9=0\)

\(\Rightarrow\left(n-3\right)^2=0\Rightarrow n=3\)

Ta phải thử lại:

\(A=\left(n^2+10\right)^2-36n^2=\left(3^2+10\right)^2-36.3^2=19^2-324=37\)

Vì 37 là số nguyên tố nên n = 3 thỏa mãn đề bài.

Để A=\(\frac{2}{n+1}\)có giá trị nguyên =>2 phải chia hết cho n-1 =>n-1\(\in\)Ư(2)=(1;-1;2;-2)

Xét: n-1=1=>n=2(thỏa mãn)

      n-1=-1=>n=0(thỏa mãn)

     n-1=2=>n=3(thỏa mãn)

     N-1=-2=>n=-1(thỏa mãn)

Vậy các giá trị của n để A=\(\frac{2}{n+1}\)có giá trị nguyên là 2;0;-3;-1

Ta có : \(A=3n^2-16n-12\)

\(=3n\left(n-6\right)+2\left(n-6\right)\)

\(=\left(n-6\right)\left(3n+2\right)\)

Vì n là số nguyên dương nên \(n-6< 3n+2\)

Vì A là số nguyên tố nên A chỉ có 2 ước nguyên dương là 1 và chính A 

\(\Rightarrow n-6=1\)

\(\Rightarrow n=7\)

Thử lại : Thay n vào A ta được :

\(A=\left(7-6\right)\left(3.7+2\right)=23\)(là số nguyên tố)

Vậy n=6 thì A là số nguyên tố .

- Nếu n chẵn thì  \(\left(n^2+1\right)3n\)  chẵn, mà  \(6\left(n^2+1\right)\)  chẵn nên A chẵn

- Nếu n lẻ thì  \(\left(n^2+1\right)3n\)  chẵn, mà  \(6\left(n^2+1\right)\)  chẵn nên A chẵn

Do đó  \(\forall n\in N\)    thì A chẵn, mà A là số nguyên tố  => A = 2

Hay \(\left(n^2+1\right)3n-6\left(n^2+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow3n^3+3n-6n^2-6-2=0\)

\(\Leftrightarrow3n^3-6n^2+3n-8=0\)

Mà  \(n\in N\)  nên ko tìm đc giá trị của n để A là số nguyên tố.

Đề bài hay nhỉ :3
A là SNT
-> A= 3((n^2+1)n-3(n^2+1)) -> A=3 
-> n^3+n-2n^2-2=1
-> Không n thỏa mãn 
-> Kết luận có A nguyên tố nhưng n không nguyên nên tha cho em bài này :vv

a: Để A là phân số thì n-2<>0

=>n<>2

Khi n=-2 thì \(A=\dfrac{2\cdot\left(-2\right)+1}{-2-2}=\dfrac{-3}{-4}=\dfrac{3}{4}\)

b: Để A nguyên thì 2n+1 chia hết cho n-2

=>2n-4+5 chia hết cho n-2

=>\(n-2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(n\in\left\{3;1;7;-3\right\}\)

Với \(n=0\Rightarrow B=100\left(hs\right)\)

Với  \(n\ne0\) ta có:

\(B=\left(n^2+10\right)^2-36n^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để B là số nguyên tố thì \(n^2-6n+10\) hoặc \(n^2+6n+10\) bằng 1.

Mà \(n\in N;n\ne0\Rightarrow n^2-6n+10< n^2+6n+10\)

\(\Rightarrow n^2-6n+10=1\Rightarrow n^2-6n+9=0\Rightarrow\left(n-3\right)^2=0\Rightarrow n=3\)

Thử n=3 vào B ta được:

\(B=\left(3^2+10\right)^2-36\cdot3^2=19^2-324=37\) là số nguyên tố (TM)

Vậy \(n=3\)

cc