Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với:

+) Tam giác $AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$:

$AD.AB=AH^2(1)$

+) Tam giác $AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HK$:

$AK.AC=AH^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AD.AB=AK.AC$

b) Dễ thấy $ADHK$ là hình chữ nhật do $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{K}=90^0$

$\Rightarrow AH=DK$

$\Rightarrow 2DK^2=2AH^2(3)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AD.AB+AK.AC=2AH^2(4)$

Từ $(3);(4)\Rightarrow AD.AB+AK.AC=2DK^2$ (đpcm)

Hình vẽ:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HK là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AK\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AK\cdot AC\)

b) Xét tứ giác AKHD có 

\(\widehat{KAD}=90^0\)

\(\widehat{AKH}=90^0\)

\(\widehat{ADH}=90^0\)

Do đó: AKHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: AH=KD(Hai đường chéo)

Ta có: \(AD\cdot AB+AK\cdot AC\)

\(=AH^2+AH^2\)

\(=2AH^2=2\cdot DK^2\)(đpcm)

 b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔABH vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(2\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(HB\cdot HC=AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

khó vãi

a) Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta DAH\)có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{ADH}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BAH}\)chung

\(\Rightarrow\Delta HAB\approx\Delta DAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AD}=\frac{AB}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

\(\Rightarrow AH^2=AB.AD\left(1\right)\)

Xét \(\Delta HAC\)và \(\Delta EAH\)có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{AEH}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{CAH}\)chung

\(\Rightarrow\Delta HAC\approx\Delta EAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AH}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) 

\(\Rightarrow AH^2=AE.AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)
\(\Rightarrow AH^2=AB.AD=AE.AC\)(điều phải chứng minh)

a)  Áp dụng hệ thức lượng vào 2 tam giác vuông: AHB và AHC ta có:

\(AH^2=AD.AB\)

\(AH^2=AE.AC\)

suy ra:\(AD.AB=AE.AC\)

b)  \(AD.AB=AE.AC\)

=>   \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét tam giác AED và tam giác ABC có:

\(\widehat{A}\)chung

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)(cmt)

suy ra: \(\Delta AED~\Delta ABC\)

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)