\(a^3+b^3\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(a^3+b^3\) chia hết cho 3

\(\Leftrightarrow a+b\) chia hết cho 3 (đpcm)

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

mà \(a^3+b^3⋮3\)

và \(3ab\left(a+b\right)⋮3\)

nên \(a+b⋮3\)

\(a^3+b^3⋮3\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)

\(+,a^2-ab+b^2⋮3\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2⋮3\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2⋮3\Rightarrow a+b⋮3\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Xét hiệu a³ + b³ - ( a + b ) ta có :

a³ + b³ - ( a + b ) = a³ + b³ - a - b = ( a³ - a ) + ( b³ - b ) = a( a² - 1 ) + b( b² - 1 ) = a( a - 1 )( a + 1 ) + b( b - 1 )( b + 1 ) 

Vì a,b nguyên nên a , a - 1 , a + 1 và b , b - 1 , b + 1 là 3 số nguyên liên tiếp

=> a( a - 1 )( a + 1 ) ⋮ 3 và b( b - 1 )( b + 1 ) ⋮ 3

=> a( a - 1 )( a + 1 ) + b( b - 1 )( b + 1 ) ⋮ 3 hay a³ + b³ - ( a + b ) ⋮ 3

mà a + b ⋮ 3 => a³ + b³ ⋮ 3 ( đpcm )

Thiếu điều kiện a,b,c thuộc Z

Ta có: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6

CM tương tự ta cũng có: \(b^3-b⋮6;c^3-c⋮6\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\)

-Nếu \(a^3+b^3+c^3⋮6\Rightarrow a+b+c⋮6\)

-Nếu \(a+b+c⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\)

=>đpcm

Xét hiệu a³ + b³ - (a + b) = a³ - a + b³ - b = a(a² - 1) + b(b² - 1) 

                                                                  = (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) 

Nhận thấy (a - 1)a(a + 1) \(⋮6\) (tích 3 số nguyên liên tiếp)

và \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\)

=> (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6

=> a³ + b³ - (a + b)  \(⋮\)6

=> a³ + b³  \(⋮\)6 khi và chỉ khi a + b  \(⋮\)6

Ta có : \(3a+3b\)và \(a+2b\)đều chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(3a+3b\right)-\left(a+2b\right)⋮3\)

\(\Rightarrow2a+b⋮3\)\(\left(đpcm\right)\)

Ta có : 3a + 3b và a + 2b đều chia hết cho 3.

\(\Rightarrow\)( 3a + 3b ) - ( a + 2b ) chia hết cho 3.

\(\Rightarrow\)2a + b chia hết cho 3 ( đpcm )

Ta có :    \(CM:\Rightarrow\)

\(\left(a+2b\right)+\left(b+2a\right)=3a+3b=3\left(a+b\right)⋮3\)

Mà \(\left(a+2b\right)⋮3\Rightarrow b+2a⋮3\)( 1 ) 

\(CM:\Leftarrow\)

\(\left(a+2b\right)+\left(b+2a\right)=3a+3b=3\left(a+b\right)⋮3\)

Mà \(b+2a⋮3\Rightarrow a+2b⋮3\)( 2 ) 

Từ ( 1 ) ; ( 2 )    \(\Rightarrow a+2b⋮3\Leftrightarrow b+2a⋮3\left(Đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!