ta có:

\(\sqrt{2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+....+\sqrt{2}}>\sqrt{1}=1\)

lại có: \(\sqrt{2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+....+\sqrt{2}}< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+2}}=2}\)\(\Rightarrow1< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}}< 2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\) ko phải là STN

Nhìn vào bài dễ thấy, \(A>1\)hay ta chứng minh \(A< 2\)

Vậy: \(\sqrt{2+\sqrt{2}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

Nên:

\(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

\(\Rightarrow1< A< 2\)hay \(A\neℕ\left(đpcm\right)\)

Dễ thấy M > 1

Mặt khác  \(M=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}+...+\sqrt{2}}}}< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}+...+\sqrt{4}}}}\)

Mà  \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}+...+\sqrt{4}}}}=2\)

Suy ra 1<M<2 nên M ko là số tự nhiên.

Ta có:

\(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\)\(>\sqrt{1}=1\)

\(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\)\(< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{4}}}}=2\)

Vậy A không phải số tự nhiên.

Nếu đúng cho nhé.

con nay kho the

\(A< \sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...+\sqrt{20+5}}}}\)

\(=\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...+\sqrt{20+5}}}}=5\)

Vậy A < 5