a) Ta có\(\widehat{ADB}=\widehat{AFB}=90độ\left(gt\right)\)

Nên tứ giác ABDF nội tiếp ( 2 đỉnh EF cùng nhìn AB với 2 góc bằng nhau)

b) Ta có \(\widehat{AEDC}=90độ\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên ΔACE vuông tại C

Xét 2 tam giác vuông ABD và ACE có

\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(cùng chắn \(\widebat{AC}\))

Nên ΔABD ~ ΔACE

Do đó \(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\)

Hay AB.AE=AD.AC

c) (Mình nghĩ câu này bạn ghi nhầm, theo mình thì ở đây ta phải chứng minh DF vuông góc AC)

Ta có \(\widehat{DFE}=\widehat{ABD}\)(tứ giác ABDF nội tiếp)

Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(cùng chắn \(\widebat{AC}\))

Do đó \(\widehat{DFE}=\widehat{AEC}\)

Ta lại có 2 góc này ở vị trí so le trong

Nên DF song song EC

Mà EC vuông góc AC

Suy ra DF vuông góc AC

\(\widehat{\text{AFB}}=\widehat{ADB}=90^0\)

Mà ÀB và ADB là hai góc kề cùng nhìn AB dưới hai góc bằng nhau => ÀDB nội tiếp

b) ta có \(\widehat{ACB}=\widehat{AEB}\)( cùng chắn cung AB)

\(\widehat{DFC}=\widehat{BAF}\)( trong tứ giác nội tiếp góc ngaoif tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh còn lại )

\(\Rightarrow\widehat{ACB}+\widehat{FDC}=\widehat{BAF}+\widehat{BAE}=90^0\)

\(\Rightarrow DF\perp CA\)

dĐAEDƯÈWEWÈWÉWÈWẺ3GWDFCEWFSCAWECFASEFSAD

Lời giải:

a)

HM⊥AB;HN⊥AC⇒HMAˆ=HNAˆ=900HM⊥AB;HN⊥AC⇒HMA^=HNA^=900

Xét tứ giác AMHNAMHN có tổng 2 góc đối HMAˆ+HNAˆ=900+900=1800HMA^+HNA^=900+900=1800 nên AMHNAMHN là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b)

Vì AMHNAMHN nội tiếp ⇒AMNˆ=AHNˆ⇒AMN^=AHN^

Mà AHNˆ=ACBˆ(=900−NHCˆ)AHN^=ACB^(=900−NHC^)

⇒AMNˆ=ACBˆ⇒AMN^=ACB^

Xét tam giác AMNAMN và ACBACB có:

{Aˆ−chungAMNˆ=ACBˆ(cmt)⇒△AMN∼△ACB(g.g){A^−chungAMN^=ACB^(cmt)⇒△AMN∼△ACB(g.g)

⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AC.AN⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AC.AN (đpcm)

c)

Ta có: ACBˆ=AEBˆACB^=AEB^ (góc nội tiếp chắn cung ABAB)

ACBˆ=AMNˆACB^=AMN^ (cmt)

⇒AEBˆ=AMNˆ⇒AEB^=AMN^

⇔IEBˆ=1800−BMIˆ⇔IEB^=1800−BMI^

⇔IEBˆ+BMIˆ=1800⇔IEB^+BMI^=1800, do đó tứ giác BMIEBMIE nội tiếp

⇒MIEˆ=1800−MBEˆ=1800−900=900⇒MIE^=1800−MBE^=1800−900=900 (MBEˆ=ABEˆ=900MBE^=ABE^=900 vì là góc nt chắn nửa đường tròn)

⇒MN⊥AE⇒MN⊥AE . Ta có đpcm.

Chúc bạn học tốt

a: Xét (O) có 

\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{ACB}=90^0\)

b: Xét (O) có 

OH là một phần đường kính

CD là dây

OH\(\perp\)CD tại H

Do đó: H là trung điểm của CD

Xét tứ giác ECAD có 

H là trung điểm của đường chéo CD

H là trung điểm của đường chéo EA

Do đó: ECAD là hình bình hành

mà EA\(\perp\)CD

nên ECAD là hình thoi

Đề có cho C ko bn êy

Có Góc AEB và góc AFB bằng 90 vì cùng chắn AB mà AB là đường kính, chắn nửa đường tròn ý. 
Mà Góc EAF bằng góc AFB vì cùng chắn cung EB 
Suy ra 3 góc bằng nhau theo tính chất bắc cầu.( Cùng bằng 90 ) 
Suy ra đây là hình chữ nhật( Theo định nghĩa.) 
b) Có góc AEF= góc FBA( cùng chắn cung AF) 
Có FKB+ góc FBK= 90 ( KFB= 90) (cmt) 
mà FBE+ FBK=90 
suy ra FKB= AEF mà AEF+ FEH= 180 
suy ra FKB+ FEH= 180 
suy ra EFKH là tứ giác nội tiếp. 
c) Có FBA= FAM ( cùng + Vs AFB = 90)( còn tại sao bạn tự nhìn mình viết tắt thôi) 
mà FBA= BKF( cùng phụ vs FBK) 
suy ra KAM= AKM 
suy ra AMK là tam giác cân tại đỉnh M 
suy ra MA= MK 
tương tự bên kia có MA= MH 
suy ra MA= MH= MK 
suy ra MA là trung tuyến. 

a, Học sinh tự chứng minh

b, DADB vuông tại D, có đường cao DH Þ  A D 2  = AH.AB

c,  E A C ^ = E D C ^ = 1 2 s đ E C ⏜ ;  E A C ^ = K H C ^  (Tứ giác AKCH nội tiếp)

=> E D C ^ = K H C ^ => DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC) => Đpcm

Bài 4:

Xét ΔAED vuông tại E và ΔBFC vuông tại F có

AD=BC

góc D=góc C

Do đó: ΔAED=ΔBFC

=>DE=CF
Bài 3:

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

AC=BD

DC chung

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>góc ACD=góc BDC

b: Ta co: góc ACD=góc BDC

=>góc EAB=góc EBA
=>ΔEAB cân tại E