1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

a) Ta có: 10^21 + 5=100...00(21 c/s 0) + 5=100....05(20 c/s 0)

-Để 100....05(20 c/s 0) chia hết cho 3 thì: 1+0+0+...+0+5 (20 c/s 0)=6 - chia hết cho 3.  (1)

-mà 100....05(20 c/s 0) có c/s tận cùng là 5 => 100....05(20 c/s 0) chia hết cho 5 =>  10^21 + 5 chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => 10^21 + 5 chia hết cho 3 và 5

b)Ta có: 10^n + 8=100...00(n c/s 0) + 8=100....08(n-1 c/s 0)

-Để 100....08(n-1 c/s 0) chia hết cho 9 thì: 1+0+0+...+0+8 (n-1 c/s 0)=9 - chia hết cho 9.  (1)

-mà 100....08(n-1 c/s 0) có c/s tận cùng là 8 => 100....08(n-1 c/s 0) chia hết cho 2 =>  10^n + 8 chia hết cho 2 (2)

Từ (1) và (2) =>10^n + 8 chia hết cho 2 và 9 (n thuộc N*)

Ta Có:

Cho biểu thức trên là B

\(b\)\(=\)\(10\)\(^n\)+ \(72n\)\(-1\)

 \(=10\)\(^n\)\(+72n\)\(-1\)

\(=10^{n^{ }}\)\(-1\)(có n\(-1chữ\) số 9)=9\(x\)(11....1)(có n chữ số 1)

B= 10ⁿ-1+72n=9x(11....1)+72n 

=>B:9=11....1+8n=11....1-n+9n

Ta Thấy:11....1 có n chữ số1 có tổng các chữ số là n

=>11....1-n chia hết cho 9

=>B:9=11....1-n+9n chia hết cho 9

Vậy B chia hết cho 81

Ta Có:

Cho biểu thức trên là B

+ 

=10n=10n(có n−1chữ−1chữ số 9)=9(11....1)(có n chữ số 1)

B= 10ⁿ-1+72n=9x(11....1)+72n 

=>B:9=11....1+8n=11....1-n+9n

Ta Thấy:11....1 có n chữ số1 có tổng các chữ số là n

=>11....1-n chia hết cho 9

=>B:9=11....1-n+9n chia hết cho 9

Vậy B chia hết cho 81

chính xác 100/100

d) \(10^n+72n-1\)\(=100...0-1+72n\)

=\(999...9-9n+81n\)

     n chữ số 9

=\(9.\left(111...1-n\right)+81n\)

VÌ 1 số và tổng các chữ số có cùng số dư trong phép chia cho 9 => 111...1 - n chia hết 9

mà 81n chia hết 9 => 10n + 72n -1 chia hết 9

b) \(10^n+18n-1\)

<=> \(100..0+\left(27n-9n\right)-1\)chia hết \(27\)

          n

<=> \(\left(100...0-1-9n\right)+27n\)chia hết \(27\)

             n

<=> \(\left(99...9-9n\right)+27n\)chia hết \(27\)

               n

<=> \(9.\left(11..1-n\right)+27n\)chia hết \(27\)

<=> \(9.9k+27n\)chia hết \(27\)

<=> \(81k+27n\)chia hết \(27\)

a) \(10^{28}+8\)chia hết cho 72

\(\Rightarrow10^{28}:9\)dư 1

\(\Rightarrow8:9\)dư 8

\(\Rightarrow1+8=9\)chia hết cho 9

\(\Rightarrow10^{28}+8\)chia hết cho 9 ( 1 )

\(10^{28}\)chia hết cho 8 ( vì 3 sớ tận cùng là 000 chia hết cho 8 )

8 chia hết cho 8

\(\Rightarrow10^{28}+8\)chia hết cho 8 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) kết hợp với UCLN ( 8 ; 9 ) = 1 => ĐPCM

b) \(8^8+2^{20}=\left(2^3\right)^8+2^{20}=2^{24}+2^{20}=2^{20}.\left(2^4+1\right)=2^{20}.17\)chia hết cho 7 => ĐPCM

c) Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

d