Question

Chứng minh rằng:

a) 8⁸ + 2²⁰                chia hết cho 17.

b) 10ⁿ + 18.n - 1       chia hết cho 27.

c) 10ⁿ + 72.n - 1       chia hết cho 81.

Answer 1

a) 8⁸ + 2²⁰

= (2³)⁸ + 2²⁰

= 2²⁴ + 2²⁰

= 2²⁰.2⁴ + 2²⁰

= 2²⁰(2⁴ + 1 )

= 2²⁰.17 chia hết cho 17

Vậy 8⁸ + 2²⁰ chia hết cho 17

Answer 2

b) Ta có : 10ⁿ + 18n -1 = 999...9 (có n chữ số 9) + 1 + 18 -1

              = 999...9 + 18n

              = 9. 111...1 + 9. 2n

              = 9( 111...1 + 2n )

Ta có : 9( 111...1 + 2n ) = 9. (111...1 - n + 3n)

Số 111...1 và số n là 2 số chia hết cho 3 có cùng số dư. Do đó:

111...1 - n chia hết cho 3 ; 3n chia hết cho 3

Vậy 10ⁿ + 18n -1 chia hết cho 27

Answer 3

c) Gọi biểu thức trên là A

Ta có : A= 10ⁿ + 72n -1 = 999...9 ( có n chữ số 9 ) +1 + 72n -1

               = 999...9 + 72n

               = 9.111...1 + 72n

           A : 9 = 111...1 + 8n = 111...1 - n + 9n

Số 111...1 và số n là 2 số chia cho 9 có cùng số dư. Do đó: 

111...1 - n chia hết cho 9 ; 9n chia hết cho 9

Vậy 10ⁿ + 72n - 1 chia hết cho 72