Lời giải:
a.

$A=2+2^2+2^3+...+2^{100}$

$2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}$

$\Rightarrow 2A-A=2^{101}-2$

$\Rightarrow A=2^{101}-2$

b.

Hiển nhiên các số hạng của $A$ đều chẵn nên $A\vdots 2(1)$

Mặt khác:
$A=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+....+(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+....+2^{97}(1+2+2^2+2^3)$

$=(1+2+2^2+2^3)(2+2^5+...+2^{97})=15(2+2^5+...+2^{97})\vdots 15(2)$

Từ $(1); (2)$ mà $(2,15)=1$ nên $A\vdots (2.15)$ hay $A\vdots 30$

$A=2+(2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7)+....+(2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2+2^2(1+2+2^2)+2^5(1+2+2^2)+....+2^{98}(1+2+2^2)$

$=2+(1+2+2^2)(2^2+2^5+...+2^{98})$

$=2+7(2^2+2^5+...+2^{98})$

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 7

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 14.

\(A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{18.19.20}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{18.19.20}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{18.19}-\frac{1}{19.20}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{19.20}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{380}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{760}< \frac{1}{4}\)(ĐPCM)

TA CŨNG TƯƠNG TỰ GIÁ SỬ PHẢN CHỨNG    \(a^2+a+1⋮9\)

=>    \(4a^2+4a+4⋮9\)

=>    \(4a^2+4a+4⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2+3⋮3\)

Mà:    \(3⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2⋮3\)

=>    \(\left(2a+1\right)^2⋮9\)                 (1)

MÀ:    \(\left(2a+1\right)^2+3⋮9\)      (2)

TỪ (1) VÀ  (2) =>    \(3⋮9\)

NHƯNG ĐÂY LÀ 1 ĐIỀU RẤT VÔ LÍ

=> ĐIỀU GIẢ SỬ LÀ SAI

=> TA CÓ ĐPCM.

VẬY    \(a^2+a+1\)     ko chia hết cho 9    \(\forall a\inℤ\)

\(A=1+6+6^2+...+6^9\)

\(=1+\left(6+6^2+6^3\right)+\left(6^4+6^5+6^6\right)+\left(6^7+6^8+6^9\right)\)

\(=1+6\left(1+6+6^2\right)+6^4\left(1+6+6^2\right)+6^7\left(1+6+6^2\right)\)

\(=1+\left(1+6+6^2\right)\left(6+6^4+6^7\right)\)

\(=1+43\left(6+6^4+6^7\right)\)

Ta thấy  \(43\left(6+6^4+6^7\right)⋮43\)

nên  A chia 43 dư 1