Chứng minh bằng quy nạp: với n nguyên dương tùy ý thì: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...........+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)

Chứng minh với mọi số nguyên dương n, n>=2 ta có :

\(\left(1-\frac{2}{6}\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\left(1-\frac{2}{20}\right)...\left(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}\)

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{n!}< \left(2-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{3}{n}\right)...\left(2-\frac{2n-1}{n}\right)\)

Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức:

\(\frac{x^n\left(x^{n+1}+1\right)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}\)

Chuyên sư phạm Hà Nội (2014)

3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n\(\ge\)6 thì số: 

\(a_n=1+\frac{2.6.10...\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\) là 1 số chính phương 

Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức:

\(\frac{x^n\left(x^{x+1}+1\right)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}\)

Cho \(f\left(n\right)=\left(n^2+n+1\right)^2+1\) với n là số nguyên dương.

Đặt \(P_n=\frac{f\left(1\right).f\left(3\right).f\left(5\right).......f\left(2n-1\right)}{f\left(2\right).f\left(4\right).f\left(6\right).......f\left(2n\right)}\).Chứng minh rằng:\(P_1+P_2+P_3+...........+P_n< \frac{1}{2}\)

Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì:\(5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^n+2^n\right)⋮91\)