N=\(\frac{2010+2011}{2011+2012}=\frac{2010}{2011+2012}+\frac{2011}{2011+2012}\)

M=\(\frac{2010}{2011}+\frac{2011}{2012}\)

ta có \(\frac{2010}{2011+2012}< \frac{2010}{2011}\)

          \(\frac{2011}{2011+2012}< \frac{2011}{2012}\)

-> N<M

Đặt A = (1 + 5 + 5² + ... + 5²⁰¹¹) 

Ta có : 5A = 5.(1 + 5 + 5² + ... + 5²⁰¹¹) 

=> 5A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰¹² 

=> 4A = 5A - A = (5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰¹²) - (1 + 5 + 5² + ... + 5²⁰¹¹) 

=> 4A = 5²⁰¹² - 1 

=> A = \(\frac{5^{2012}-1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{5^{2012}-1}{4}\cdot\left|x-1\right|=5^{2012}-1\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|=5^{2012}-1\div\left(\frac{5^{2012}-1}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|=\left(5^{2012}-1\right)\cdot\frac{4}{5^{2012}-1}\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|=4\)

=> x - 1 = 4  hoặc x - 1 = -4 

=> x =  4 + 1 hoặc x = -4 + 1 

=> x = 5    hoặc x = -3 

Vậy x = 5 hoặc x = -3 

Gọi A = 1+5+5^2+...+5^2011

=> 5A = 5+5^2+5^3 +...+ 5^2012

=> 5A - A = 5^2012 - 1

Thay A vào ( 1+5+5^2+...+5^2011) . |x-1| = 5^2012-1

( 5^2012-1).|x-1| = 5^2012-1

|x-1| = (5^2012-1) : (5^2012-1)

|x-1|  = 1

TH1: x- 1= 1

x = 2 (TM)

TH2: x - 1= - 1

x= 0 (TM) 

KL: x = 2 hoặc x = 0

@CONGCHUAORI : bn sai cmnr

UWCLN là ước chung lớn nhất nha các bn

Vì \(|x+2011|;|x+2012|\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0

=> x + 2011 > 0 ; x + 2012 > 0

=> x + 2011 + x + 2012 = 1

       2x + ( 2011 + 2012 ) = 1

        2x + 4023 = 1

              2x = 1 - 4023

              2x = - 4022

                 x = - 2011