Trả lời:

a, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

=> O là trung điểm của BD và AC

Xét tam giác ACE có:

O là trung điểm của AC 

M là trung điểm của AE ( gt )

=> OM là đường trung bình của tam giác ACE

=> OM // CE

hay BD // CE

=> ^BDC = ^ECK ( 2 góc đồng vị )   (1)

Vì O là trung điểm của BD và AC

=> OD = BD/2 và OC = AC/2

Mà BD = AC ( ABCD là hình chữ nhật )

=> OD = OC

=> tam giác DOC cân tại O

=> ^BDC = ^ACD (tc) (2)

Xét tứ giác HEKC có:

^EHC = 90^o

^HCK = 90^o

^EKC = 90^o

=> tứ giác HEKC là hình chữ nhật ( dh1)

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật HEKC 

=> I là trung điểm của CE và HK

=> IC = CE/2 và IK = HK/2

Mà CE = HK ( HEKC là hình chữ nhật )

=> IC = IK

=> tam giác ICK cân tại I

=> ^ECK = ^IKC (tc)  (3)

Từ (1) (2) và (3) => ^ACD = ^IKC 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

nên AC // HK ( đpcm )

b, Xét tam giác ACE có:

I là trung điểm của CE 

M là trung điểm của AE (gt)

=> IM là đường trung bình của tam giác ACE

=> IM // AC

Mà HK // AC ( cm ở ý a ) và H, I, K thẳng hàng

nên M, H, K thẳng hàng ( đpcm )

a) tứ giác HCKE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

gọi giao điểm của HK và EC là I. giao điểm của AC và BD là O

Vì OM là đường trung bình của \(\Delta ACE\)nên OM // CE

\(\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{C_2}\)( 1)

\(\Delta COD\)cân tại O nên \(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\)( 2 )

\(\Delta CIK\)cân tại I nên \(\widehat{C_2}=\widehat{K_1}\)( 3 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ), ( 3 ) suy ra \(\widehat{C_1}=\widehat{K_1}\) do đó HK // AC

b) Xét \(\Delta ACE\)có đường thẳng HK đi qua trung điểm I của CE

Mặt khác : HK // AC nên HK đi qua trung điểm của AE hay đi qua M

Vậy 3 điểm M,H,K thẳng hàng

Gợi ý:

a)  Gọi O là giao của AC và BD

Dễ thấy: MO // EC (đtb)

=>  góc ECH = OBC

góc OBC = OCB

góc ECH = KHC

suy ra:  góc KHC = OCB

=> HK // AC 

b)  Gọi giao của KH và EC là I

Dễ thấy:  MI // AC (đtb)

mà HK// AC

suy ra:H,K, M thẳng hàng

e) Chứng minh HI, ST, KF đồng quy.

Gọi O là giao điểm của EI và HK.

Xét tứ giác HIKE ta có:

góc IHE = 90⁰ (HI _|_ EB tại H)

góc IKE = 90⁰ (KI _|_ EC tại K)

góc HEK = 90⁰ (tứ giác ABEC là hình chữ nhật)

=> tứ giác HIKE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

=> góc HIK = 90⁰

=> KI _|_ HI tại I

Xét hình chữ nhật HIKE ta có:

2 đường chéo EI và HK cắt nhau tại O (cách vẽ)

=> O là trung điểm của EI và O là trung điểm của HK

Xét tam giác FEI vuông tại F ta có:

FO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EI (O là trung điểm của EI)

=> FO = 1/2 EI

Mà EI = HK (tứ giác HIKE là hình chữ nhật)

Nên FO = 1/2 Hk

Xét tam giác FHK ta có:

FO là đường trung tuyến (O là trung điểm của HK)

FO = 1/2 HK (cmt)

=> tam giác FHK vuông tại F

=> HF _|_ FK tại F

Xét tam giác SHK ta có:

ST là đường cao (ST _|_ HK tại T)

HI là đường cao (HI _|_ KI tại I)

KF là đường cao (KF _|_ HF tại F)

=> HI, ST, KF đồng quy tại một điểm (đpcm)

làm dài v mà có 1 người nhận xét đúng làm làm j