\(a^2+b^2=2ab\)

<=>  \(a^2+b^2-2ab=0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2=0\)

<=>   \(a-b=0\)

<=>  \(a=b\)  (đpcm)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

<=>  \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

<=>  \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

<=>   \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

<=>  \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

<=>  \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

Xét:  \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

<=>  \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=>  \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)

<=>  \(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)

<=>  \(a=b=c\)

=>  đpcm

cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM ta đc:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu "=" xảy ra  <=>  \(a=b=c\)

c)  bạn lm tương tự

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

Vậy a=b=c=d

a4+b4+c4+d2>4abed

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ =  40000 + a000 + b00 + c0 + d

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - d = 4abc0 

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - abcd = 40000

nếu a ; b ; c ; d bằng nhau thì 

a ^{4 + 4 + 4 + 4} - abcd = 40000

a¹⁶ - abcd = 40000

cho a  = 1 ; vậy biểu thức là :

16 - abcd = 40000

vậy không thể chứng minh được 

nhé !

Kết luận :  .....................................................

a⁴ ; b⁴;....đều là số dương nên theo bđt cosi ta có: 

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ >= 4căn mũ 4 của (abcd)⁴ >= 4abcd

dấu = chỉ xảy ra khi a=b=c=d (dpcm)

bài này cũng có thể giải bằng cauchy 2 số

a^4+b^4+c^4+d^4≥2a^2b^2+2c^2d^2

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥2(a^2b^2+c^2d^2)

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥2.2abcd

<=>a^4+b^4+c^4+d^4≥4abcd

dấu "=" xảy ra khi {a^4=b^4;c^4=d^4;a^2b^2=c^2d^2 =>a=b=c=d

( dấu ^ là nâng lên lũy thừa nhiên bạn )

Huỳnh Minh Quý lm đúng òi đó

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)

Dấu "=" xảy ra \(a=b=c=d\) (đpcm)