Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD=CA. Gọi góc CAD, DAB, ADC lần lượt là A1, A2,D1 

Ta có 
A=A1+A2=D1+A2=B+2.A2
Theo đề bài ta có A=B+2.C

=>C=A2
Dễ dàng chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác DBA
=>AB/DB=BC/AB
Đặ BC=a ; AB=c ;Ac=b 

c/(a−b)=a/c  => c² = a(a−b)
Do các cạnh của tam giác ABC là ba STN liên tiếp và a>b nên a-b=1 hoặc a-b=2
Sau đó giải hai trường hợp đó ra nghiệm thích hợp AB=2 , AC= 3 ; BC=4

CM max tắt 

vì sao D1+A2=B+2.A2 ạ?

D là điểm nào bạn?

1.

\(\Leftrightarrow x^2-3x+1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+1}=a>0\\\sqrt{x^2-x+1}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2b^2-a^2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}b-a\right)\left(2b+\sqrt{3}a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=\sqrt{3}b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{3}.\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=3x^2-3x+3\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Bài 2:

Đặt \(AB=x>0\) 

\(AG=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+x^2}\)

\(CG=\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2+AC^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+a^2}\)

\(BG=\dfrac{2}{3}\sqrt{AB^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{3}\sqrt{x^2+\dfrac{a^2}{4}}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}\)

\(\Leftrightarrow GB^2+GC^2+2GB.GC.cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=AG^2\)

\(\Leftrightarrow cos\left(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\right)=\dfrac{AG^2-BG^2-CG^2}{2GB.GC}\)

\(=\dfrac{\dfrac{a^2+x^2}{4}-\left[\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{x^2}{4}+a^2\right)+\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{a^2}{4}+x^2\right)\right]}{\dfrac{2}{9}\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\)

\(=-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{2\sqrt{\left(a^2+4x^2\right)\left(x^2+4a^2\right)}}\le-\dfrac{11}{4}.\dfrac{x^2+a^2}{5\left(x^2+a^2\right)}=-\dfrac{11}{20}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=x\Leftrightarrow AB=a\)

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)

\(\frac{\Rightarrow1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)

Thay vào M ta có 

\(\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)

P/s : hỏi từng câu thôi 

Tại bận -.-

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\)\(\Leftrightarrow ab.\left(b+c\right)=bc.\left(a+b\right)\Leftrightarrow ab^2+abc=b^2c+abc\Leftrightarrow ab^2=b^2c\Leftrightarrow a=c\left(b\ne0\right)\)(1)

\(\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Leftrightarrow bc.\left(c+a\right)=ca.\left(b+c\right)\Leftrightarrow bc^2+abc=c^2a+abc\Leftrightarrow b=a\left(c\ne0\right)\)(2)

Từ (1) và (2) => a=b=c

\(M=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

                                    -------------------------------------------------ngăn cách bài--------------------------------------------

ta có: \(VT=\frac{6}{\left(x-1\right)^2+2}\le3\)(--)

dấu = xảy ra khi x-1=0

=> x=1

\(\left|y-1\right|+\left|y-3\right|=\left|-y+1\right|=\left|y-3\right|\ge\left|-y+1+y-3\right|=2\)(2)

\(\left|y-2\right|\ge0\)(1)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VP=\left|y-1\right|+\left|y-3\right|+\left|y-2\right|+1\ge3\)(3)

dấu = xảy ra khi dấu = ở (1) và (2) đồng thời xảy ra

\(\hept{\begin{cases}\left(-y+1\right).\left(y-3\right)\ge0\\y-2=0\end{cases}\Rightarrow y=2}\)

Mà VT=VP => \(\frac{6}{\left(x-1\right)^2+3}=\left|y-1\right|+\left|y-2\right|+\left|y-3\right|+1=3\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}y=2\\x=1\end{cases}}\)

Dài thế thế thế

Bài 1:

a) \(A=\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+...+\frac{1}{2012.2015}\)

\(A=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2015}\right)\)

\(A=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}\right)\)

\(A=\frac{1}{3}\cdot\frac{2013}{4030}=\frac{671}{4030}\)

Bài 2:

ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=\frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)

\(=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=2\)

\(\Rightarrow A=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=2+2+2=6\)

Bài 3:

a) f(1) = 4/1 = 4

=> f(1) = 4

g(-1) = (-1)^2 = 1

=> g(-1) = 1

h(-5) = -2.(-5)^2 - 5/(-5) = -2.25 + 1 = -50 + 1 = -49

=> h(-5) = -49

b) ta có: k(x)=f(x)+g(x)+h(x)

=> k(x) = 4/x + x^2 -2x^2 - 5/x

k(x) = - (5/x - 4/x) - (2x^2-x^2)

k(x) = -1/x - x

\(k_{\left(x\right)}=\frac{-1}{x}-\frac{x.x}{x}=\frac{-1-x^2}{x}\)

c) Để k(x) = 0

=> -1-x^2/x = 0 ( x khác 0)

=> -1-x^2 = 0

=> x^2 = -1

=> không tìm được x

Bài 4:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A

có: góc B + góc C = 90 độ ( 2 góc phụ nhau)

thay số: 60 độ + góc C = 90 độ

góc C = 90 độ - 60 độ

góc C = 30 độ

=> AB = BC/2 ( cạnh đối diện với góc 30 độ)

thay số: 5 = BC/2

=> BC = 5.2

=> BC = 10 cm

Xét tam giác ABC vuông tại A

có:  AC^2 + AB^2 = BC^2 ( py - ta - go)

thay số: AC^2 + 5^2 = 10^2

         AC^2 + 25 = 100

AC^2 = 75

\(\Rightarrow AC=\sqrt{75}\) cm