Tìm nghiệm nguyên x,y của pt: \(x^2y^2-x^2-8y^2=2xy\)
Tìm nghiệm nguyên x;y của phương trình: \(x^2y^2-x^2-8y^2=2xy\)
=> (x2 - 8).y2 - 2xy - x2 = 0 (*)
Tính \(\Delta\)' = (-x)2 - (x2 - 8 ). (-x2) = x4 - 7x2
Để x nguyên <=> \(\Delta\)' là số cính phương <=> x4 - 7x2 = k2 ( k nguyên)
=> 4x4 - 28x2 = 4k2 => (2x2 -14)2 = (2k)2 + 196
=> (2x2 - 14)2 - (2k)2 = 196
=> (2x2 - 14 - 2k). (2x2 - 14 + 2k) = 196 = 14.14 = (-14). (-14) = 2. 98 = (-2). (-98)
Nhận xét: 2x2 - 14 - 2k; 2x2 - 14 + 2k chẵn
+) Th1 : 2x2 - 14 - 2k = - 14; 2x2 - 14 + 2k = -14
=> k = 0 => x2 = 0 => x = 0 . thay vào (*) => y
Giá trị y nguyên là các giá trị thoa mãn
các trường hợp còn lại : tương tự
+) Th2: 2x2 - 14 - 2k = 14; 2x2 - 14 + 2k = 14:
+) Th3: 2x2 - 14 - 2k = 2; 2x2 - 14 + 2k = 98
+) Th4: 2x2 - 14 - 2k = - 2; 2x2 - 14 + 2k = -98
a) Ta có: \(x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2z=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2z+1\right)=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\)
Mà \(5=0^2+1^2+2^2\) nên ta có dễ dàng xét được các TH
Làm tiếp nhé!
b) Ta có: \(x^2+13y^2-6xy=100\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-6xy+9y^2\right)+4y^2=100\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2=100-4y^2\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x-3y\right)^2\ge0\\100-4y^2\le100\end{cases}}\Rightarrow0\le100-4y^2\le100\)
\(\Rightarrow y\in\left\{0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm5\right\}\)
Ta có các TH sau:
Nếu \(y=0\Rightarrow x^2=100\Rightarrow x=\pm10\)
Nếu \(y=\pm3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-9\right)^2=64\\\left(x+9\right)^2=64\end{cases}}\Rightarrow x\in\left\{17;1;-17;-1\right\}\)
... Tự làm tiếp nhé
TOÁN 7 ĐÂY!!
Giải pt nghiệm nguyên:
a)\(x^4-y^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4x^2+1=0\)
b) \(x^2y^2-x^2-8y^2=2xy\)
tìm nghiệm nguyên của PT:\(x^2y^2-x^2-6y^2=2xy\)
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
\(x^2y^2-x^2-8y^2=2xy\)
\(y\left(x+9\right)+\sqrt{x}\left(9-x^2\right)+y^2\left(y-6\right)=0\)
\(x^3-y^3=2xy+8\)
Giải pt nghiệm nguyên: \(x^2y+1=x^2+2xy+2x+y\)
\(PT\Leftrightarrow y\left(x^2-2x-1\right)=x^2+2x-1\).
Từ đó \(x^2-2x-1\vdots x^2+2x-1\)
\(\Leftrightarrow4x⋮x^2+2x-1\) (1)
\(\Rightarrow4\left(x^2+2x-1\right)-4x^2⋮x^2+2x-1\)
\(\Leftrightarrow8x-4⋮x^2+2x-1\) (2)
Từ (1), (2) suy ra \(8⋮x^2+2x-1\).
Đến đây bạn xét TH.
Tìm nghiệm nguyên của pt sau :
\(^{x^2+2y^2+2xy-y=3}\)\(\left(y-1\right)\)
x2+2y2+2xy-y=3(y-1)
<=> x2+2xy+y2+y2-y=3(y-1)
<=> (x+y)2=3(y-1)-y(y-1)
<=> (x+y)2=(y-1)(3-y)
Nhận thấy, Vế trái (x+y)2 \(\ge\)0 Với mọi x,y
=> Để phương trình có nghiệm thì Vế phải \(\ge\)0
<=> (y-1)(3-y)\(\ge\)0 <=> 1\(\le\)y\(\le\)3
Y nguyên => y1=1; y2=2; y3=3
+/ y=1 => x=-y=-1
+/ y=2 => x=-1
+/ y=3 => x=-y=-3
Các cặp (x,y) nguyên là: (-1,1); (-1; 2); (-3,3)
TÌm nghiệm nguyên của pt \(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)
Tìm nghiệm nguyên của pt: \(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)0
\(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}\text{x=2}\\y=0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}\text{x=\text{-}1}\\y=1\end{cases}}\end{cases}}\)
\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+y^2+2.\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}-\frac{25}{4}=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{4}\)
Do x,y nguyên
\(\Rightarrow\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\orbr{\begin{cases}\frac{25}{4}\\\frac{9}{4}\end{cases}}\)(chọn những số
\(\Rightarrow y=...\)
\(\Rightarrow x=...\)
\(x^2+2y^2+2xy+3y-4=0\)\(\Leftrightarrow x^2+2yx+\left(2y^2+3y-4\right)=0\)
Coi đây là phương trình theo ẩn x thì \(\Delta=\left(2y\right)^2-4\left(2y^2+3y-4\right)=-4y^2-12y+16\)
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)hay \(-4y^2-12y+16\ge0\Leftrightarrow y^2+3y-4\le0\Leftrightarrow\left(y+4\right)\left(y-1\right)\le0\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}y+4\ge0\\y-1\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge-4\\y\le1\end{cases}}\)hay \(-4\le y\le1\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}y+4\le0\\y-1\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\le-4\\y\ge1\end{cases}}\)(loại)
Vậy \(-4\le y\le1\)mà y nguyên nên \(y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}\)
Thay lần lượt các giá trị của y vào phương trình đã cho, ta được:
*) \(y=-4\Rightarrow x=4\)
*) \(y=-3\Rightarrow x\in\left\{1;5\right\}\)
*) \(y=-2\)(Không có giá trị nguyên của x)
*) \(y=-1\)(Không có giá trị nguyên của x)
*) \(y=0\Rightarrow x\in\left\{\pm2\right\}\)
*) \(y=1\Rightarrow x=-1\)
Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(4,-4\right);\left(1,-3\right);\left(5,-3\right);\left(\pm2,0\right);\left(-1,1\right)\right\}\)