Xét hiệu: A=a³+b³+c³-a-b-c = (a³-a)+(b³-b)+(c³-c)

=a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1)

Tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn ⋮ 6 vì trong 3 số đó có 1 số chia hết cho 2 ; một số chia hết cho 3 (Điều hiển nhiên)

⇒ A ⋮ 6

Vậy nếu a³+b³+c³ chia hết cho 6 thì a+b+c chia hết cho 6 và ngược lại.(ĐPCM)

a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)+3abc

                    =(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc

                    =(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc

*Nếu a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3

*Nếu a3+b3+c3⋮3⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3⇒a+b+c⋮3

làm như vậy nha, mk xin lỗi , ko bt cách viết số mũ nha, k nha

    Xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

                                                  \(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

                                                   \(=\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

                                                   \(=\left(a+b+c\right).\left[a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

                                                   \(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)   

                                                   \(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

- Nếu \(a+b+c⋮3\)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)⋮3\)

Mà 3abc chia hết cho 3 \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\)

- Nếu \(a^3+b^3+c^3⋮3\)mà \(3abc⋮3\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc⋮3\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)⋮3\Rightarrow a+b+c⋮3\)

Chúc bạn học tốt.

Nhanh hơn là: 

a³-a=a(a-1)(a+1) chia hết cho 3
CMTT: b³-b chia hết cho 3
 

Xét hiệu a³ + b³ - (a + b) = a³ - a + b³ - b = a(a² - 1) + b(b² - 1) 

                                                                  = (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) 

Nhận thấy (a - 1)a(a + 1) \(⋮6\) (tích 3 số nguyên liên tiếp)

và \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\)

=> (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6

=> a³ + b³ - (a + b)  \(⋮\)6

=> a³ + b³  \(⋮\)6 khi và chỉ khi a + b  \(⋮\)6

Bài 1 : 

Ta có : 3a + 3b và a + 2b đều chia hết cho 3

=> ( 3a + 3b ) - ( a + 2b ) chia hết cho 3

=> 2a + b chia hết cho 3 ( đpcm )

Bài 2 : 

Mình có sách có bài này nhưng mà chưa học nên cũng không hiểu . Nếu bạn cần thì cứ nói với mình mình sẽ giúp

hayyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

bài 2 

a, ta có 2 TH:

   +)n là số chẵn =>n+10 chia hết cho 2

   +)n là số lẻ =>n+15 chia hết cho 2

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

mà \(a^3+b^3⋮3\)

và \(3ab\left(a+b\right)⋮3\)

nên \(a+b⋮3\)

ta có: \(a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right).\)

                                                                     \(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\) (*)

mà \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích 3 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=> \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)

tương tự :  \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)

    \(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)

=> (*) chia hếtcho 6

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\) chia hết cho 6

mà theo bài ra ta có: \(a+b+c⋮6\)

nên  \(a^3+b^3+c^3⋮6\) => đpcm