a. ta có: góc DAB =góc BAH, góc EAC = góc CAH

=> góc DAE = gocsDAB + góc BAH + góc CAH + góc CAE = 2 góc BAH + 2 góc CAH = 2. (góc BAH + góc CAH) = 2 góc BAC = 2.90độ = 180 độ

=> A, D, E thẳng hàng

b. Dễ CM: AD=AH, BD=BH => \(\Delta ADB=\Delta AHB\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90đ\\ \)

CMTT có: góc AEC = 90độ

=> BD//EC

=> BDEC là hình thang vuông

c, Từ phần b có: BD=BH, CE=CH

Mà BC=BH+CH => BC=BD+CE

a) D,E đối xứng H qua AB,AC => AB,AC là trung trực của HD và HE

Dùng các tính chất của đường trung trực dễ dàng có \(\Delta ABH=\Delta ABD\)và \(\Delta ACH=\Delta ACE\)

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{BAD}=\widehat{BAH}\\\widehat{CAE}=\widehat{CAH}\end{cases}}\)Xét\(\widehat{DAE}=\widehat{BAD}+\widehat{BAH}+\widehat{CAE}+\widehat{CAH}=2\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=2\widehat{BAC}=2.90^0=180^0\)

=>A,D,E thẳng hàng

b) Có \(\Delta ABH=\Delta ABD\)và \(\Delta ACH=\Delta ACE\)=>\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^0\\\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^0\end{cases}}\)=>đpcm

c)  Có \(\Delta ABH=\Delta ABD\)và \(\Delta ACH=\Delta ACE\)=>\(\hept{\begin{cases}BD=BH\\CE=CH\end{cases}\Rightarrow BD+CE=BH+CH=BC}\)

a)  \(\Delta ABC\) có  MA = MB;  NA = NC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)MN // BC

\(\Rightarrow\)Tứ giác BMNC là hình thang

b)  \(\Delta ABC\)có  NA = NC;  QB = QC

\(\Rightarrow\)NQ // AB;   NQ = 1/2 AB

mà   MA = 1/2 AB

\(\Rightarrow\)NQ = MA

Tứ giác AMQN có   NQ // AM;   NQ = AM

\(\Rightarrow\)AMQN là hình bình hành

c)  E là điểm đối xứng của H qua M

\(\Rightarrow\)ME = MH

Tứ giác AHBE  có  MA = MB (gt);  ME = MH (gt)

\(\Rightarrow\)AHBE là hình bình hành

mà  \(\widehat{AHB}\)= 90⁰

\(\Rightarrow\)hình bình hành AHBE  là  hình  chữ nhật

còn câu d nữa nè

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

a/ D đối xứng với H qua AB

⇒ AB là đường trung trực của DH ⇒ \(AD=AH\) (tính chất đường trung trực)

- E đối xứng với H qua AC

⇒ AC là đường trung trực của DE ⇒ \(AH=AE\) (tính chất đường trung trực)

Vậy: \(AD=AE\) hay A là trung điểm của DE (đpcm)

==========

b/ - AB là trung trực của DH (cmt) ⇒ \(DB=HB\) (tính chất đường trung trực)

- AC là đường trung trực của DE (cmt) ⇒ \(HC=HE\) (tính chất đường trung trực)

Xét △ADB và △ADH có:

 - \(AH=AD\left(cmt\right)\)

 - \(AB\text{ }chung\)

 - \(DB=HB\left(cmt\right)\)

⇒ △ADB=△AHB (c.c.c) ⇒ \(\hat{ADB}=\hat{AHB}=90\text{°}\left(1\right)\)

- Tương tự ta cũng có: △AHC=△AEC (c.c.c) ⇒ \(\hat{AHC}=\hat{AEC}=90\text{°}\left(2\right)\)

\(DE\perp DB;DE\perp CE\Rightarrow DB\text{//}CE\)

⇒ ABEC là hình thang

Từ (1) và (2): Vậy: ABEC là hình thang vuông (đpcm)

==========

c/ Xét △AHB và △ABC có:

- \(\hat{AHB}=\hat{BAC}=90\text{°}\)

- \(\hat{ABH}\text{ }chung\)

⇒ △HBA ∼ △ABC (g.g) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HB}{AB}\Rightarrow AB=\sqrt{\left(2+8\right).2}=\sqrt{20}\left(cm\right)\)

Xét △AHB vuông tại H:

\(AB^2=AH^2+HB^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{\left(\sqrt{20}\right)^2-2^2}=4\left(cm\right)\)

- Mặt khác: \(AH=AD=AE=4\left(cm\right)\)

\(HB=DB=2\left(cm\right)\)

\(HC=CE=8\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow P_{BDEC}=\left(4+4\right)+2+\left(2+8\right)+8=28\left(cm\right)\)

Vậy: \(AH=4cm\)

        \(P_{BDEC}=28cm\)