Không ghi lại đề nhé

Đặt \(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=1-\frac{1}{n+1}< 1\)

Nhận xét : \(\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)

\(\Leftrightarrow VT=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

               \(=1-\frac{1}{n+1}< 1\left(\text{đpcm }\right)\)

                                                             Bài giải

 Đặt \(A=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)

     \(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

       \(=1-\frac{1}{n+1}< 1\)                 \(\left(ĐPCM\right)\)

       \(=\frac{n}{n+1}\)              ( Nếu muốn bạn có thể làm thêm bước này )

a) \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)(@@)

+) Với n = 1 ta có: \(1.2=\frac{1.\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}\) đúng

=> (@@) đúng với n = 1 

+) G/s (@@) đúng cho đến n 

+) Ta chứng minh (@@ ) đúng với n + 1 

Ta có: \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)

=>  (@@) đúng với n + 1

Vậy (@@ ) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0

b) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\) (@)

Ta chứng minh (@) đúng  với n là số tự nhiên khác 0 quy nạp theo n 

+) Với n = 1 ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}\) đúng 

=> (@) đúng với n = 1 

+) G/s (@) đúng cho đến n 

+) Ta cần chứng minh (@) đúng với n + 1 

Ta có: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^n-1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-2+1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)

=> (@) đúng với n + 1 

Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.

c) Ta chứng minh 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2.\left(n+1\right)^2}{4}\)(@)  đúng với mọi số tự nhiên n khác 0 

+) Với n = 1 ta có: \(1^3=\frac{1^2\left(1+1\right)^2}{4}\)đúng 

=> (@) đúng với n = 1 

+) G/s n(@) đúng cho đến n 

+) Ta chứng minh (@) với n + 1 

Thật vậy: 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3+\left(n+1\right)^3=\frac{n^2.\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3\)

\(=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}\)

=> (@) đúng với n + 1 

Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.

Không thể quy đồng mẫu số các phân số ở VT . Cần tách mỗi phân số thành hiệu 2 phân số . Nhận xét :

Do đó : \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}\)

=> Bài toán đã được cm

Lời giải:

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{n(n+1)}\)

\(=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=1-\frac{1}{n+1}\)

Vì \(1\in\mathbb{Z}; \frac{1}{n+1}\not\in\mathbb{Z}, \forall n\in\mathbb{N}\geq 1\Rightarrow A=1-\frac{1}{n+1}\not\in\mathbb{Z}\)

Ta có đpcm.