Question

CMR : Với mọi n \(\in\)N* luôn có : \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}< 1\)

 

Answer 1

Xét : \(\frac{1}{\text{k}\left(\text{k}+1\right)}=\frac{1}{\text{k}}-\frac{1}{\text{k}+1}\)

\(\Leftrightarrow VT=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}< 1\)

  \(\Rightarrow\) ĐPCM 

Answer 2

\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=1-\frac{1}{n+1}\)

mà  \(n\inℕ^∗\Rightarrow\frac{1}{n+1}>0\)

\(\Rightarrow1-\frac{1}{n+1}< 1\)

                              ( đpcm )

Đây là toán lp 8 sao?

           ?_?