\(\sqrt{2007+2008\sqrt{1-x}}=1+\sqrt{2007-2008\sqrt{1-x}}\left(x\le1\right)\)

\(\Leftrightarrow2007+2008\sqrt{1-x}=1+2007-2008\sqrt{1-x}+2\sqrt{2007-2008\sqrt{1-x}}\)

\(\Leftrightarrow2.2008\sqrt{1-x}=2\sqrt{2007-2008\sqrt{1-x}}+1\)

Đặt \(2008\sqrt{1-x}=y\ge0\)

Suy ra phương trình (1) tương đương với : \(2y-1=2\sqrt{2007-y}\Leftrightarrow4y^2-4y+1=4\left(2007-y\right)\Leftrightarrow4y^2=8027\Rightarrow y=\frac{\sqrt{8027}}{2}\)(nhận) hoặc \(y=-\frac{\sqrt{8027}}{2}\)(loại)

Từ đó suy ra \(x=\frac{16120229}{16128256}\)

Vậy \(x=\frac{16120229}{16128256}\)là nghiệm của phương trình.

Bài này nếu mình nhớ không nhầm thì nằm trong đề thi Toán Casio đúng không bạn? :))

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(2010-x+x-2008\right)\)

\(=2\cdot\left(2010-2008\right)=2\cdot2=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\)

Lại có: \(VP=x^2-4018x+4036083\)

\(=x^2-4018x+4036081+2\)

\(=\left(x-2009\right)^2+2\ge2\)

Suy ra \(VT\le VP=2\) xảy ra khi \(VT=VP=2\)

\(\Rightarrow\left(x-2009\right)^2+2=2\Rightarrow x-2009=0\Rightarrow x=2009\)

PT: \(\sqrt{x+3}x^4=2x^4-2008x+2008\)

DK xác định : \(x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge-3\)(**)

PT đã cho tương đương:

\(x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)+2008x=2008\)(***)

Nếu :\(x>1\) thì  \(x+3>4\Rightarrow x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)+2008x>2008\)

Nếu \(-3\le x\le1\)thì\(0\le x+3< 4\Rightarrow\sqrt{x+3}-2< 0\)và \(x^4\ge0\)

\(\Rightarrow x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)\le0\) Mặt khác : \(2008x< 2008\)

\(\Rightarrow x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)+2008x< 2008\)

* \(x=1\) thỏa mãn (***)

Vậy (***) có nghiệm duy nhất x= 1

KL: Nghiệm của pt đã cho là : x  = 1

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :

\(VT^2=\left(\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(2010-x+x-2008\right)\)

\(=2.\left(2010-2008\right)=2.2=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\)

Lại có :

\(VP=x^2-4018x+4036083\)

\(=x^2-4018x+4036081+2\)

\(=\left(x-2009\right)^2+2\ge2\)

Suy ra \(VT\le VP=2\) nên xảy ra khi :
\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2009\right)^2+2=2\Rightarrow x=2009\)

Chúc bạn học tốt !!!

Trước tiên ta chứng minh:

\(-2005x\sqrt{4-4x}\le2005\left(x^2-x+1\right)\)

Với \(x\ge0\)thì bất đẳng thức đúng.

Với \(x< 0\)

\(\left(-x\sqrt{4-4x}\right)^2\le\left(x^2-x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)^2\ge0\)đúng

Quay lại bài toán ta có:

\(\left(x-x^2\right)\left(x^2+3x+2007\right)-2005x\sqrt{4-4x}=30\sqrt[4]{x^2+x-1}+2006\ge2006\)

\(\Leftrightarrow2006\le\left(x-x^2\right)\left(x^2+3x+2007\right)-2005x\sqrt{4-4x}\le\left(x-x^2\right)\left(x^2+3x+2007\right)+2005\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow x^2+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

PS: Để số 2008 t không giải ra nên thay số 2006 giải được. Chắc bác chép nhầm đề.

$(x-x^2)(x^2+3x+2007)-2005x\sqrt{4-4x}=30\sqrt[4]{x^2+x-1}+2006$ - Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình - Diễn đàn Toán học

Điều kiễn xác định của phương trình : \(2008\le x\le2010\)

Xét vế trái của phương trình và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(\left(1.\sqrt{2010-x}+1.\sqrt{x-2008}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2010-x+x-2008\right)=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}\le2\)(1)

Xét vế phải của phương trình : \(x^2-4018x+4036083=\left(x-2009\right)^2+2\ge2\)(2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình đầu tương đương với \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2010-x}+\sqrt{x-2008}=2\\x^2-4018x+4036083=2\end{cases}\Leftrightarrow}x=2009\) (TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2009

Khó