Tìm các số tự nhiên a,b,c biết
\(\frac{1}{a^2.\left(a^2+b^2\right)}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{a^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
Tìm các số tự nhiên a,b,c biết:
\(\frac{1}{a^2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{a^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
các bạn giúp mk bài trên nha!!
1. Tìm 2 số tự nhiên x, y sao cho \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\) là số nguyên tố.
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh \(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 2/
\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)
Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.
PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.
Thỏa theo nguyện vọng mình làm luôn câu 1 cho b luôn :)
Câu 1/
\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\)
Điều kiện: \(y^2-xy+1\ne0\)
Với x, y cùng chẵn, lẻ và x lẻ y chẵn thì tử là số chẵn, mẫu là số lẻ nên A sẽ là số chẵn.
Với x chẵn y lẻ thì tử là số lẻ mẫu là số chẵn nên A không phải là số nguyên.
Từ đây ta có được nếu A là số nguyên tố thì A chỉ có thể là 2.
\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}=2\)
\(\Leftrightarrow2y^2-xy+y-x^2-x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2y+x+1\right)=2\)
\(\Rightarrow\left(x-y,2y+x+1\right)=\left(1,2;2,1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
Cho a, b, c là các số dương.
CMR:\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}+\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
1)Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24
2) CMR nếu:
\(\frac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\frac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\frac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\left(1\right)\)
thì \(\frac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\frac{y}{b\left(c^2+a^2-b^2\right)}=\frac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
3) Cho độ dài ba cạnh a,b,c của một tam giác. CMR:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{abc}\ge9\)
Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)
1) Đặt n+1 = k^2
2n + 1 = m^2
Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ
Đặt m = 2t+1
=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2
=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1
=> n = 2t(t+1)
=> n là số chẵn
=> n+1 là số lẻ
=> k lẻ
+) Vì k^2 = n+1
=> n = (k-1)(k+1)
Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp
=> (k+1)(k-1) chia hết cho *
=> n chia hết cho 8
+) k^2 + m^2 = 3a + 2
=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1
=> m^2 - k^2 chia hết cho 3
m^2 - k^2 = a
=> a chia hết cho 3
Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=> a chia hết cho 24
Tìm x với các số a,b,c là hằng số đôi một khác nhau:
\(\frac{\left(b-c\right)\left(1+a\right)^2}{x+a^2}+\frac{\left(c-a\right)\left(1+b\right)^2}{x+b^2}+\frac{\left(a-b\right)\left(1+c\right)^2}{x+c^2}\) =0
Cho a,b,c dương và abc=1
CMR: \(\frac{a^4}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b^4}{2\left(a+c\right)^2}+\frac{c^4}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{c^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{1}{a^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{8}\)
bđt<=>\(S_a\left(a-b\right)^2+S_b\left(b-c\right)^2+S_c\left(c-a\right)^2\ge0\)
with \(S_a=\frac{1}{2\left(a^2+b^2\right)}-\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(S_b=\frac{1}{2\left(b^2+c^2\right)}-\frac{a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(S_c=\frac{1}{2\left(c^2+a^2\right)}-\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
cần cm \(S_a+S_c;S_b+S_c>0\)
lại có:\(S_a+S_c=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\right)-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right)-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}>0\)
cmtt=>q.e.d
Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=1. Tính giá trị của biểu thức M= \(\frac{a\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(b+c\right)}\)+\(\frac{b\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+b^2\right)\left(c+a\right)}\)+\(\frac{c\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{\left(1+c^2\right)\left(a+b\right)}\)
thay 1=ab+bc+ca vào M phân tích và rút gọn
cháu càng nói thế bác càng k giải nhé :v
Tìm a,b,c biết a,b,c là các số dương và \(\left(\frac{1}{a^2}+1\right)\left(\frac{1}{b^2}+2\right)\left(\frac{1}{c^2}+8\right)=\frac{32}{abc}\)
(d) qua A(5; 6) : y = mx - 5m + 6 (1)
(C) : (x - 1)² + (y - 2)² = 1 (2)
Thay y từ (1) vào (2) ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)
(x - 1)² + (mx - 5m + 4)² = 1
Khai triển ra pt bậc 2 : (m² + 1)x² - 2(5m² - 4m + 1)x + 25m² - 40m + 17 = 0 (*)
Để (d) tiếp xúc (C) thì (*) phải có nghiệm kép
∆' = (5m² - 4m + 1)² - (m² + 1)(25m² - 40m + 17) = - 4(3m² - 8m + 4) = 4(m - 2)(2 - 3m) = 0 => m = 3/2; m = 2
KL : Có 2 đường thẳng cần tìm
(d1) : y = (3/2)(x - 1)
(d2) : y = 2x - 4
∆ ∠ ∡ √ ∛ ∜ x² ⁻¹ ∫ π × ∵ ∴ | | , ⊥,∈∝ ≤ ≥− ± , ÷ ° ≠ → ∞, ≡ , ≅ , ∑,∪,¼ , ½ , ¾ , ≈ , [-b ± √(b² - 4ac) ] / 2a Σ Φ Ω α β γ δ ε η θ λ μ π ρ σ τ φ ω ё й½ ⅓ ⅔ ¼ ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ₁ ₂ ₃₄₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ∊ ∧ ∏ ∑ ∠ ,∫ ∫ ψ ω Π∮ ∯ ∰ ∇ ∂ • ⇒ ♠ ★
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2}+1\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2}\cdot1}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b^2}+2\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2}\cdot2}=\frac{2\sqrt{2}}{b}\)
\(\frac{1}{c^2}+8\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2}\cdot8}=\frac{2\sqrt{8}}{c}\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{2}{a}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{b}\cdot\frac{2\sqrt{8}}{c}=\frac{32}{abc}=VP\)
Khi \(a=1;b=\frac{1}{\sqrt{2}};c=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)