cho a,b,c >0 và a+b+c =3
Tìm min của biểu thức
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2018}{ab+bc+ca}\)
Những câu hỏi liên quan
cho a b c là các số thực thỏa mãn a,b ≥0 0≤ c ≤ 1 và a^2 +b^2 +c^2 =3
Tìm min max P= ab + bc +ca +3(a+b+c)
\(A=\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\)cho ab+bc+ca=abc và a,b,c>0 Tìm min
\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Áp dụng BĐT cosi
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Tương tự
=> \(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
Lại có \(\left(a+b+c\right)\ge\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{9}{1}=9\)
=> \(A\ge\frac{9}{4}\)
MinA=9/4 khi a=b=c=3
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a;b;c>0 thỏa mãn abc+ab+bc+ca=2.tìm min của
\(P=\frac{1}{ab+a+b}+\frac{1}{bc+b+c}+\frac{1}{ca+c+a}\)
cho a,b,c >0 và ab+bc+ac=abc
Tìm min của biểu thức: \(P=\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)
Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn:\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
Tính giá trị của biểu thức M = \(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
theo bài ra ta có:
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
=> \(\frac{abc}{c\left(a+b\right)}=\frac{abc}{a\left(b+c\right)}=\frac{abc}{b\left(c+a\right)}\)
=> \(\frac{abc}{ca+cb}=\frac{abc}{ab+ac}=\frac{abc}{bc+ba}\)
vì a,b,c khác 0 => ca+cb = ab+ac = bc+ba
=> a = b = c
ta có:
\(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
vậy M = 1
Đúng 1
Bình luận (0)
cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) và a,b,c khác 0. tính giá trị biểu thức \(N=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
=>\(\frac{1}{a}=-\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=>\(\frac{1}{a^2}=-\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}\right)\)
cm tương tự: \(\frac{1}{b^2}=-\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}\right)\)
\(\frac{1}{c^2}=-\left(\frac{1}{ca}+\frac{1}{bc}\right)\)
=> \(N=-\left[bc\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}\right)+ca\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}\right)+ab\left(\frac{1}{ca}+\frac{1}{bc}\right)\right]\)
\(=-\left[\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right]\)
\(=-\left[\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right]\) (1)
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
=>\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}=0\)
=>\(1+\frac{b+c}{a}+1+\frac{a+c}{b}+1+\frac{a+b}{c}=0\)
=>\(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=-3\) (2)
Từ (1) và (2) =>N=3
Đúng 1
Bình luận (0)
cho a,b,c là các số thực khác 0 và thỏa mãn ab+bc+ca=1.
Tính giá trị của biểu thức: M=\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}-\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Cho \(a,b,c>0;a+b+c\le1\). tìm min của \(S=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
Cho a,b,c>=0 tm ab+bc+ca=1.Tìm Min B=\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Ta có \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.1=3\) \(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel
\(B=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)