\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{1331}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1330}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1330}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{665}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\frac{1}{666}+\frac{1}{667}+...+\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}\)

\(\frac{m}{n}=\left(\frac{1}{666}+\frac{1}{1331}\right)+\left(\frac{1}{667}+\frac{1}{1330}\right)+...+\left(\frac{1}{998}+\frac{1}{999}\right)\)

\(\frac{m}{n}=\frac{1997}{666.1331}+\frac{1997}{667.1330}+...+\frac{1997}{998.999}=\frac{1997k_1+1997.k_2+...+1997.k_{333}}{666.667...1331}\)

\(\frac{m}{n}=\frac{1997.\left(k_1+k_2+...+k_{333}\right)}{666.667...1330.1331}\) trong đó: k₁;...; k₃₃₃ là các thừa số phụ của các phân số trong tổng 

Nhận xét: phân số trên có tử chia hết cho 1997 là số nguyên tố; mẫu số không chia hết cho thừa số nguyên tố 1997 nên khi rút gọn tử vẫn chia hết cho 1997

=> m chia hết cho 1997

Do p là số nguyên tố nên \(p-1\) là số chẵn , suy ra : \(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\)

\(=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{p-1}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{p-3}\right)+...+\left(\frac{1}{\frac{p-1}{2}}+\frac{1}{\frac{p+1}{2}}\right)\)

\(=\frac{p}{1.\left(p-1\right)}+\frac{p}{2.\left(p-2\right)}+\frac{p}{3.\left(p-3\right)}+...+\frac{p}{\left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{p+1}{2}\right)}\)

\(=p\left[\frac{1}{1.\left(p-1\right)}+\frac{1}{2.\left(p-2\right)}+\frac{1}{3.\left(p-3\right)}+...+\frac{1}{\left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{p+1}{2}\right)}\right]\)

Ta có : \(1.\left(p-1\right).2.\left(p-2\right)...\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}=\left(p-1\right)!\)

Suy ra : \(\frac{m}{n}\) có dạng :

\(\frac{m}{n}=p\frac{q}{\left(p-1\right)!}\Rightarrow m\left(p-1\right)!=npq\Rightarrow m\left(p-1\right)!⋮p\)mà \(\left(p-1\right)!⋮̸p\) nên \(\Rightarrow m⋮p\).

Chúc bạn học tốt nha !!!

\(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\)

\(\frac{m}{n}=\left(1+\frac{1}{p-1}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2}\right)+...+\)\(\left(\frac{1}{\left(p-1\right):2}+\frac{1}{\left(p-1\right):2+1}\right)\)

\(\frac{m}{n}=p.\)(\(\frac{1}{1.\left(p-1\right)}+\frac{1}{2.\left(p-2\right)}+...+\)\(\frac{1}{\left[\left(p-1\right):2\right].\left[\left(p-1\right):2+1\right]}\))

MC: 1.2.3...(p-1)

Gọi các thừa số phụ lần lượt là: k₁;k₂;k₃;...;k_p-1

Khi đó, \(\frac{m}{n}=\frac{p.\left(k_1+k_2+k_3+...+k_{p-1},\right)}{1.2.3...\left(p-1\right)}\)

Do p nguyên tố > 2 mà mẫu không chứa thừa số p nên đến khi rút gọn tử số vẫn chứa thừa số nguyên tố p

=> m chia hết cho p (đpvm)

Mình bận xem mấy cái dạng bài tập hóa . Bạn cần gấp không mình làm cho .

\(\frac{m}{p}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+........+\frac{1}{p-1}\)

\(\frac{m}{p}=\left(1+\frac{1}{p-1}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2}\right)+....+\left(1+\frac{1}{\left(p-1\right):2}\right)+\left(1+\frac{1}{\left(p-2\right):2}\right)\)

\(\frac{m}{n}=p\left(\frac{1}{1.\left(p-1\right)}+\frac{1}{2.\left(p-2\right)}+........+\frac{1}{\left[\left(p-1\right):2\right].\left[\left(p-1\right):2+1\right]}\right)\)

MC:1.2.3....(p-1)

Gọi các thừa số phụ lần lượt là \(k_1;k_2;k_3;.....;k_{p-1}\)

Khi đó: \(\frac{m}{n}=\frac{p.\left(k_1+k_2+k_3+....+k_{\left(p-1\right)}\right)}{1.2.3....\left(p-1\right)}\)

Do p là nguyên tố lớn hơn 2 mà mẫu không chứa thừa số p nên đến khi rút gọn tử số vẫn chứa thừa số nguyên tố p

\(\Rightarrow\)m chia hết cho p (đpcm)

có cần full ko :3

có chứ anh

a Ta có 1/2^2=1/2.2<1/1.2

           1/3^2=1/3.3<1/2.3 ...

            1/100^2=1/100.100<1/99.100

=> 1/2^2+1/3^2+...+1/100^2< 1/1.2+1/2.3+...+1/99.100=1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100( theo công thức )

                                                                               =1-1/100 <1

=> 1/2^2+1/3^2+...+1/100^2 < 1

 Ta có 1/2^2=1/2.2<1/1.2

           1/3^2=1/3.3<1/2.3 ...

            1/100^2=1/100.100<1/99.100

=> 1/2^2+1/3^2+...+1/100^2< 1/1.2+1/2.3+...+1/99.100

=1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100( theo công thức)

  =1-1/100 <1

=> 1/2^2+1/3^2+...+1/100^2 < 1