Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. CMR: \(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc=1.CMR
\(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a;b;c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1
CMR: \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{15}{4}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
Tương tự \(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{4bc}\ge1\) \(\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\ge1\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{a}{4b}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4c}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}+\frac{c}{4a}\right)\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+c}{b}-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}\right)\ge\frac{3}{4}\)(do \(a+b+c=1\))
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\) luôn đúng. Từ đó suy ba BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Lời giải:
Ta sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề:Nếu \(a,b>0, ab\geq 1\) thì: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}(*)\)
Chứng minh:
Thực hiện biến đổi tương đương:
\((*)\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2+2)\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )
Bổ đề đc chứng minh.
Quay trở lại bải toán ban đầu:
Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)
Khi đó: \(ab=\max (ab,bc,ac)\Rightarrow ab\geq 1\)
Áp dụng bổ đề đã nêu:
\(\text{VT}=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\)
Ta thấy :
\(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}-\frac{3}{2}=\frac{c^2+3-ab-3abc^2}{2(abc^2+ab+c^2+1)}=\frac{c^2+bc+ac-3abc^2}{2(abc^2+ab+c^2+3)}=\frac{c(a+b+c-3abc)}{2(abc^2+ab+c^2+1)}\)
Áp dụng BĐT AM_GM:
\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
\(\Rightarrow 3(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\)
\(\Rightarrow \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}-\frac{3}{2}=\frac{c(a+b+c-3abc)}{2(abc^2+ab+c^2+1)}\geq 0\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Swarchz ta có
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{(1+1+1)^2}{1+1+1+ab+bc+ac}=\frac{9}{6} =\frac{3}{2}\)(đpcm)
cho a, b, c > 0 thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\). CMR:
\(\frac{1}{4a^2-bc+1}+\frac{1}{4b^2-ac+1}\)\(+\frac{1}{4c^2-ab+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=2abc . CMR : \(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
Đặt \(x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}, \Rightarrow x+y+z=2\)
Suy ra \(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\)
Ta có \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2} .\frac{2-x}{8}.\frac{2-x}{8}}=\frac{3x}{4}.\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge x+y+z-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
\(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c >0 thỏa mãn a3bc+b3ac+c3ab=a2+b2+c2
CMR: \(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{abc}{a+b+c}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(3\left(ab+bc+ca\right)=1\). CMR:
\(\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge\frac{1}{a+b+c}\)