Lời giải:

Ta có: a2b+a+b⋮ab2+b+7

⇒a2b2+ab+b2⋮ab2+b+7

⇔a(ab2+b+7)+b2−7a⋮ab2+b+7

⇔b2−7a⋮ab2+b+7

Ta xét các TH sau:

TH1: b2=7a→b⋮7→b=7t , khi đó a=7t2

Thay vào điều kiện ban đầu ta thấy luôn đúng.

TH2: b2−7a>0⇒b2−7a≥ab2+b+7

Vì a∈Z+⇒a≥1⇒ab2+b+7+7a>b2 (vô lý)

TH3: 7a−b2>0⇒7a−b2≥ab2+b+7

Để thỏa mãn điều kiện trên thì ít nhất b2<7⇔b∈{1;2}

Thay từng giá trị b vào điều kiện ban đầu ta thu được các cặp (a,b) thỏa mãn là: (11,1),(49,1)

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Đặt k=a2+b2ab+1(k∈Z)k=a2+b2ab+1(k∈Z)  
Giả sử kk không là số chính phương 
Cố định số nguyên dương kk, sẽ tồn tại cặp (a,b)(a,b) . Ta kí hiệu 
S={(a,b)∈NxN|a2+b2ab+1=k}S={(a,b)∈NxN|a2+b2ab+1=k} 
Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc SS tồn tại (A,B)(A,B) sao cho A+BA+B đạt min 
Giả sử A≥B>0A≥B>0 . Cố định BB ta còn số nữa khác AA thảo phương trình k=x+B2xB+1k=x+B2xB+1 
⇔x2−kBx+B2−k=0⇔x2−kBx+B2−k=0 phương trình có nghiệm AA
Theo Viet : {A+x2=kBA.x2=B2−k{A+x2=kBA.x2=B2−k 
Suy ra x2=kB−A=B2−kAx2=kB−A=B2−kA 
Dễ thấy x2x2 nguyên. 
Nếu x2<0x2<0 thì x22−kBx2+B2−k≥x22+k+B2−k>0x22−kBx2+B2−k≥x22+k+B2−k>0 (vô lí) . Suy ra x2≥0x2≥0 do đó (x2,B)∈S(x2,B)∈S  
Do A≥B>0⇒x2=B2−kA<A2−kA<AA≥B>0⇒x2=B2−kA<A2−kA<A 
Suy ra x2+B<A+Bx2+B<A+B (trái với giả sử A+BA+B đạt min) 
Suy ra kk là số chính phương

thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc

Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p

\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).

+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)

+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)

Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).

Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)

Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).

Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.

Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.

Vậy ....

nguowch đề :))

\(ab^2+b+7⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow a\left(ab^2+b+7\right)-b\left(a^2b+a+b\right)⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow7a-b^2⋮a^2b+a+b\left(1\right)\)

\(+,7a=b^2\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(7k^2;7k\right)\left(k\text{ nguyên dương}\right)\)

\(+,7a>b^2\text{ từ 1}\Rightarrow7a-b^2\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow6a\ge a^2b+b+b^2\text{ mà: b là số nguyên dương}\Rightarrow b< 3\Leftrightarrow b\in\left\{1;2\right\}\)

làm tiếp

\(+,7a< b^2\text{ từ (1)}\Rightarrow b^2-7a\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow voli\text{ :)}.Tự\text{ kết luận}\)

em ko bik