\(x^2+6xy+5y^2-4y-8=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+6xy+9y^2)-(4y^2+4y+1)=7\)

\(\Leftrightarrow (x+3y)^2-(2y+1)^2=7\)

\(\Leftrightarrow (x+y-1)(x+5y+1)=7\)

Vì x,y nguyên nên ta có các trường hợp sau:

TH1: \(\begin{cases} x+y-1=1\\ x+5y+1=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+y-1=1\\ 4y+2=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1\\ y=1 \end{cases}\)

Các TH còn lại bạn tự làm nhé

\(x^2+6xy+5y^2-4y-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6xy+9y^2\right)-4y^2-4y-1-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3y\right)^2-\left(2y+1\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5y+1\right)\left(x+y-1\right)=7=\left[{}\begin{matrix}1.7\\7.1\\\left(-1\right).\left(-7\right)\\\left(-7\right).\left(-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5y+1=1;x+y-1=7\\x+5y+1=7;x+y-1=1\\x+5y+1=-1;x+y-1=-7\\x+5y+1=-7;x+y-1=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10;y=-2\left(nhận\right)\\x=y=1\left(nhận\right)\\x=y=1\left(nhận\right)\\x=10;y=-2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

-Vậy các cặp số (x,y) là \(\left(10;-2\right);\left(1;1\right)\)

\(4x^2+5y^2=2022\) (1)

-Vì \(4x^2⋮2\) và \(2022⋮2\) nên \(5y^2⋮2\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)

-Đặt \(y=2k\left(k\in Z\right)\) và thay vào (1) ta được:

\(4x^2+5.\left(2k\right)^2=2022\)

\(\Leftrightarrow4x^2+5.4k^2=2022\)

\(\Leftrightarrow4x^2+20k^2=2022\)

\(\Leftrightarrow x^2+5k^2=\dfrac{2022}{4}=505.5\) (vô lý do x,k là các số nguyên)

-Vậy phương trình vô nghiệm.

Xét \(y=0\Rightarrow x=\pm8\)

Với \(y\ge1\), ta thấy \(x⋮6\) và \(y⋮2\) (vì nếu \(y\) lẻ thì \(3^y\) chia 4 dư 3, vô lí)

\(x=3k,y=2l\left(k,l\inℤ,l\ge2\right)\) (nếu \(l=1\) thì \(y=2\Rightarrow x^2=72\), vô lí)

pt đã cho trở thành \(k^2=3^{2l-2}+7\) 

\(\Leftrightarrow k^2-\left(3^{l-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(k+3^{l-1}\right)\left(k-3^{l-1}\right)=7\)

Do \(k+3^{l-1}>k-3^{l-1}\) nên ta xét 2TH

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}k+3^{l-1}=7\\k-3^{l-1}=1\end{matrix}\right.\). Cộng theo vế  \(\Rightarrow2k=8\Rightarrow k=4\Rightarrow x=3k=12\) \(\Rightarrow3^y=x^2-63=144-63=81\Rightarrow y=4\)

Vậy ta tìm được cặp \(\left(x,y\right)=\left(12,4\right)\), thử lại thấy thỏa mãn.

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}k+3^{l-1}=-1\\k-3^{l-1}=-7\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế \(\Rightarrow2k=-8\Rightarrow k=-4\Rightarrow x=-12\)

\(\Rightarrow3^y=x^2-63=144-63=81\Rightarrow y=4\)

Vậy ta tìm được thêm cặp số \(\left(x;y\right)=\left(-12;4\right)\). Như vậy, pt đã cho có các nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(\pm8;0\right);\left(\pm12;4\right)\right\}\)

 cũng quy đồng, bạn đưa về pt : 
6x -xy +6y +1 = 0 
hay x( 6-y ) = -1-6y 
x, y nguyên : 
-1-6y chia hết cho 6-y 
hay 6.(6-y) - 37 chia hết cho 6-y 
vậy 6-y là ước của 37 
bạn lại lập bảng ( hay giải từng cái cũng được ) tìm ra y , sau đó tìm x 
( nhớ thử lại , và lấy x, y nguyên )  

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 1/x + 1/y + 1/6xy=1/6

6x -xy +6y +1 = 0 
hay x( 6-y ) = -1-6y 
x, y nguyên : 
-1-6y chia hết cho 6-y 
hay 6.(6-y) - 37 chia hết cho 6-y 
vậy 6-y là ước của 37 

 

Nhân hai vế của phương trình với 6xy:
                   6y+6x+1=xy6y+6x+1=xy
Đưa về phương trình ước số:
      x(y−6)−6(y−6)=37x(y−6)−6(y−6)=37 
⇔(x−6)(y−6)=37⇔(x−6)(y−6)=37
Do vai trò bình đẳng của xx và yy, giả sử x⩾y⩾1x⩾y⩾1, thế thì x−6⩾y−6⩾−5x−6⩾y−6⩾−5.
Chỉ có một trường hợp:
               {−6=37y−6=1⇔{=43y=7{−6=37y−6=1⇔{=43y=7
Đáp số:  (43;7),(7;43)