Gọi KC cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại I, BK cắt AC tại D. Kẻ đường kính IP của đường tròn (O).

Ta thấy ^IKP chắn nửa đường tròn (O) nên KP vuông góc KI. Mà KN vuông góc KI nên K,N,P thẳng hàng

Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)IMO = \(\Delta\)PNO (c.g.c) => ^OIM = ^OPN => IM // PN hay IM // KN

Do KN vuông góc CK nên MI cũng vuông góc CK => ^MIC = ^MAC = 90⁰ => Tứ giác ACIM nội tiếp

Suy ra ^AMC = ^AIC = ^ABK => MC // BK. Khi đó, \(\Delta\)ADB có M là trung điểm AB, MC // BD (C thuộc AD)

=> C là trung điểm AD. Nếu ta gọi BC cắt KH tại S thì \(\frac{HS}{AC}=\frac{KS}{CD}\left(=\frac{BS}{BC}\right)\)(Hệ quả ĐL Thales)

Vậy thì S là trung điểm của KH. Nói cách khác, BC chia đôi KH (tại S) (đpcm).

Vả lại phần b thiếu đề bài.

Câu 1: Nối OI ta có

+ Xét tam giác OMN có

OM=ON (bán kính đường tròn) => tam giác OMN cân (tam giác có hai cạnh bên bằng nhau là t/g cân)

MI=NI (đề bài) => OI là trung tuyến thuộc cạnh MN

=> OI vuông góc MN (trong tam giác cân trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời là đường cao của tam giác cân)

+ Ta có

AA' vuông góc MN

OI vuông góc MN (cmt)

=> OI//AA'

+ Xét tam giác ABD có

OA=OB (bán kính đường tròn)

OI//AD (chứng minh trên OI//AA')

=> BI=DI (đường thẳng // cạnh đáy và đi qua trung điểm của 1 cạnh bên thì cũng đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại)

Mà MI=NI

=> DMNB là hbh (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Câu 2:

+ Xét tam giác OBD có

HO=HB (đề bài)

Bi=DI (c/m trên)

=> HI là đường trung bình của tam giác OBD (đường thẳng đi qua trung điểm hai cạn bên 1 t/g là đường trung bình)

=> HI//OD

Mà HI vuông góc AA'

=> OD vuông góc AA'

=> AD=A'D (Bán kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung tại điểm cắt nhau)