5: 

a: Xét ΔANB và ΔAMC có

AN=AM

góc BAN chung

AB=AC

=>ΔANB=ΔAMC

b: Xét ΔABC có AN/AC=AM/AB

nên MN//BC

c: góc ABN+góc IBC=góc ABC

góc ACM+góc ICB=góc ACB

mà góc ABN=góc ACM và góc ABC=góc ACB

nên góc IBC=góc ICB

=>IB=IC

mà AB=AC

nên AI là trung trực của BC

=>A,I,D thẳng hàng

Tam giác ABC có góc B = 90⁰, góc ACB = 30⁰.

Suy ra góc A = 180⁰ - góc B - góc ACB = 180 - 90 - 30 = 60⁰.

Mà AD là tia phân giác của góc A -> góc DAB=góc DAE = góc A / 2 = 602=30602=300

mà góc ABD bằng 90⁰ -> góc ADB = 180⁰-90⁰-30⁰=60⁰.

Vậy góc ADB bằng 60⁰.

 Xét hai tam giác BDA và tam giác EDA có :

AB = AE (GT)

góc BAD = góc EAD (cmt)

AD chung

Từ ba điều trên suy ra : tam giác BDA = tam giác EDA.

 Ta có : góc DAE bằng = 30⁰ (cmt)

mà góc ACB bằng 30⁰ (GT)

Từ hai điều trên suy ra tam giác DAC cân tại D.

-> DA = DC (đpcm).

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

Xét ΔDHA vuông tại D và ΔDBH vuông tại D có

\(\hat{DHA}=\hat{DBH}\left(=90^0-\hat{DHB}\right)\)

Do đó: ΔDHA~ΔDBH

=>\(\frac{DH}{DB}=\frac{DA}{DH}\)

=>\(DA\cdot DB=DH^2\)

Xét ΔEAH vuông tại E và ΔEHC vuông tại H có

\(\hat{EAH}=\hat{EHC}\left(=90^0-\hat{EHA}\right)\)

Do đó: ΔEAH~ΔEHC

=>\(\frac{EA}{EH}=\frac{EH}{EC}\)

=>\(EA\cdot EC=EH^2\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(HE^2+HD^2=HA^2\)

=>\(DA\cdot DB+EA\cdot EC=HA^2\)

Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBHA vuông tại H có

góc DBH chung

Do đó: ΔBDH~ΔBHA

=>\(\frac{BD}{BH}=\frac{BH}{BA}\)

=>\(BD\cdot BA=BH^2\)

Xét ΔCEH vuông tại E và ΔCHA vuông tại H có

\(\hat{ECH}\) chung

DO đó: ΔCEH~ΔCHA

=>\(\frac{CE}{CH}=\frac{CH}{CA}\)

=>\(CE\cdot CA=CH^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

\(BD\cdot BA+CE\cdot CA=BH^2+CH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2\cdot HB\cdot HC-2\cdot HB\cdot HC\)

\(=\left(BH+CH\right)^2-2\cdot AH^2=BC^2-2\cdot AH^2\)

\(=AB^2+AC^2-2\cdot AH^2\)

b: Ta có: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

=>\(\hat{AED}=\hat{ABC};\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM=MB=MC

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{MAC}+\hat{AED}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AM⊥DE tại S

c: ta có: \(\hat{CAF}+\hat{BAF}=\hat{CAB}=90^0\)

\(\hat{CFA}+\hat{HAF}=90^0\) (ΔHAF vuông tại H)

mà \(\hat{BAF}=\hat{HAF}\) (AF là phân giác của góc BAH)

nên \(\hat{CAF}=\hat{CFA}\)

=>CA=CF

Ta có: \(\hat{BAJ}+\hat{CAJ}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{BJA}+\hat{HAJ}=90^0\) (ΔHAJ vuông tại H)

mà \(\hat{CAJ}=\hat{HAJ}\) (AJ là phân giác của góc HAC)

nên \(\hat{BAJ}=\hat{BJA}\)

=>BA=BJ

AB+AC

=BJ+CF

=BF+FJ+CJ+JF

=BF+CJ+FJ+JF

=BC+FJ