Cho tam giác ABC vuông tai A (AB<AC) có duong cao AH. Goi D,E lan luot là hình chieu cua H lên AB và AC.Goi M là trung diem cua BC
*AD.AB=AH2 =AE.AC
*AD.AC+AE.AB=AB.AC
a) Chung minh :
*DB.DA+EC.EA=AH2
*BD.BA+CE.CA=AB2+AC2-2AH2
b) Chung minh tam giác ADE - tam giác ACB; AM vuông DE tai S và 1/AS=1/HB+1/HC
c)AF là phân giác góc BAH; AJ là phân giác góc CAH.Chung minh: *AB+AC=BC+FJ
*FH.FC=BF.CH
*JH.JB=JC.BH
d) AJ là phân giác cua góc HAC, goi L là trung diem cua AJ,BL cat AH tai N. Trên canh HJlay diem K (HK>KJ), Kéo dài KN cat AB tai Q. Chung minh: BA/BQ+BJ/BK+2.BL/BN
e) Goi X,Y,Z lan luot là tâm các duong phân giác trong cua tam giác ABH,ACH và AHM. Chung minh tam giác HXY-tam giác ABC và tính so đo góc BZM
a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
Xét ΔDHA vuông tại D và ΔDBH vuông tại D có
\(\hat{DHA}=\hat{DBH}\left(=90^0-\hat{DHB}\right)\)
Do đó: ΔDHA~ΔDBH
=>\(\frac{DH}{DB}=\frac{DA}{DH}\)
=>\(DA\cdot DB=DH^2\)
Xét ΔEAH vuông tại E và ΔEHC vuông tại H có
\(\hat{EAH}=\hat{EHC}\left(=90^0-\hat{EHA}\right)\)
Do đó: ΔEAH~ΔEHC
=>\(\frac{EA}{EH}=\frac{EH}{EC}\)
=>\(EA\cdot EC=EH^2\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(HE^2+HD^2=HA^2\)
=>\(DA\cdot DB+EA\cdot EC=HA^2\)
Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBHA vuông tại H có
góc DBH chung
Do đó: ΔBDH~ΔBHA
=>\(\frac{BD}{BH}=\frac{BH}{BA}\)
=>\(BD\cdot BA=BH^2\)
Xét ΔCEH vuông tại E và ΔCHA vuông tại H có
\(\hat{ECH}\) chung
DO đó: ΔCEH~ΔCHA
=>\(\frac{CE}{CH}=\frac{CH}{CA}\)
=>\(CE\cdot CA=CH^2\)
Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có
\(\hat{HAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)
Do đó: ΔHAB~ΔHCA
=>\(\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}\)
=>\(HA^2=HB\cdot HC\)
\(BD\cdot BA+CE\cdot CA=BH^2+CH^2\)
\(=BH^2+CH^2+2\cdot HB\cdot HC-2\cdot HB\cdot HC\)
\(=\left(BH+CH\right)^2-2\cdot AH^2=BC^2-2\cdot AH^2\)
\(=AB^2+AC^2-2\cdot AH^2\)
b: Ta có: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
Do đó: ΔADE~ΔACB
=>\(\hat{AED}=\hat{ABC};\hat{ADE}=\hat{ACB}\)
ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM=MB=MC
MA=MC
=>ΔMAC cân tại M
=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)
\(\hat{MAC}+\hat{AED}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>AM⊥DE tại S
c: ta có: \(\hat{CAF}+\hat{BAF}=\hat{CAB}=90^0\)
\(\hat{CFA}+\hat{HAF}=90^0\) (ΔHAF vuông tại H)
mà \(\hat{BAF}=\hat{HAF}\) (AF là phân giác của góc BAH)
nên \(\hat{CAF}=\hat{CFA}\)
=>CA=CF
Ta có: \(\hat{BAJ}+\hat{CAJ}=\hat{BAC}=90^0\)
\(\hat{BJA}+\hat{HAJ}=90^0\) (ΔHAJ vuông tại H)
mà \(\hat{CAJ}=\hat{HAJ}\) (AJ là phân giác của góc HAC)
nên \(\hat{BAJ}=\hat{BJA}\)
=>BA=BJ
AB+AC
=BJ+CF
=BF+FJ+CJ+JF
=BF+CJ+FJ+JF
=BC+FJ
