a) tam giác ABC có M là trung điểm của AB,N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN//AC và MN=1/2AC

=> tứ giác MNPA  là hình bình hành 

tứ giác MNPA là hình bình hành có góc MAP=90độ

=> tứ giác MNPA là hcn 

tứ giác MNPA là hcn có MA=MP (MA=1/2AB,AP=1/2AC,AB=AC)

vậy tứ. giác MNPA là hình vuông 

b)gọi G là giao điểm 3 đường trung tuyến AN,BP,CM  tam giác ABC có AN là trung tuyến => AN là trung trực của BC

=> Góc ABG=góc ACG (đối xứng trục)

xét tam giác ABP vuong tại A và tam giác ACM vuông tại A có

AB=AC,góc ABP=góc ACM(góc ABG=ACG)

=> tam giác ABP=tam giác ACM (cgv-gnk)

=> BP=CM (đpcm)

Bổ đề: Xét tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong AD. Khi đó \(\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\).

Phép chứng minh bổ đề rất đơn giản (Gợi ý: Kẻ DH,DK lần lượt vuông góc với AB,AC)

Quay trở lại bài toán: Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn (I)

Áp dụng Bổ đề vào \(\Delta\)NAM có \(\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{\sqrt{2}}{AI}\)hay \(\frac{2}{AC}+\frac{1}{AN}=\frac{\sqrt{2}}{r\sqrt{2}}=\frac{1}{r}\)

Từ đó \(\frac{1}{AN}=\frac{AC-2r}{r.AC}\Rightarrow AN=\frac{r.AC}{AC-2r}\)  

Gọi AI cắt FD tại Q. Dễ thấy ^QDC = ^BDF = 90⁰ - ^ABC/2 = 1/2(^BAC + ^ACB) = ^QIC

Suy ra tứ giác CIDQ nội tiếp => ^CQI = ^CDI = 90⁰. Do đó \(\Delta\)AQC vuông cân tại Q

Từ đó, áp dụng hệ quả ĐL Thales, ta có: 

\(\frac{AP}{r}=\frac{AP}{ID}=\frac{QA}{QI}=1+\frac{AN}{QM}=1+\frac{2AN}{AC}\)

\(\Rightarrow AP=\frac{r.AC+2r.AN}{AC}=\frac{r.AC+2r.\frac{r.AC}{AC-2r}}{AC}=r+\frac{2r^2}{AC-2r}=\frac{r.AC}{AC-2r}=AN\)

Vậy nên \(\Delta\)ANP cân tại A (đpcm). 

bn co cach nao ma ko can dung tu giac noi tiep ko

Thichhoctoan ơi bài trên đâu phải toán lớp 1 đầu . Lớp 1 làm gì đã học trung điểm , tam giác cân . Theo tớ nhớ thì nên lớp 3 hay 4 mới học trung điểm còn tam giác cân thì lớp 8 hay lớp 7 chứ .

Ta có ; - tam giác ABC đều mà N là điểm nằm giữa BC . suy ra AN là tia phân giác đồng thời là đường cao [1]

            - tam giác CDE đều mà P là điểm nằm giữa CE . suy ra DP là tia phân giác đồng thời là đường cao [2] 

 từ 1 và 2 suy ra ; PC = NC 

        đồng thồi ; NC vuông gócvói NP 

       suy ra M1 = M2       

suy ra tam giác mnp đều