\(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}\right)=\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}\)

\(=BM\cdot BC\cdot cos0^0=\dfrac{1}{2}\cdot a^2\cdot1=\dfrac{1}{2}a^2\)

\(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{AM^2+BC^2+2\cdot\dfrac{1}{2}a^2}\)

\(=\sqrt{\dfrac{1}{4}a^2+a^2+a^2+a^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\cdot a\)

Có :

\(\text{AE = DE = }\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

Dùng công thức độ dài trung tuyến:

\(DF^2=\dfrac{DA^2+DE^2}{2}-\dfrac{AE^2}{4}=\dfrac{a^2+\dfrac{5a^2}{4}}{2}-\dfrac{5a^2}{16}=\dfrac{13a^2}{16}\) \(\Rightarrow\) \(DF=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}\)

Chọn đáp án C.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là R = OA

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

Lấy điểm F sao cho DF // AM và F thuộc BC

Theo quy tắc hình bình hành ( AM//DF ; AD //MF)

\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}\)

Vì AMFD là hình bình hành nên \(\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{MF}\right|\Rightarrow BF=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}\)

Theo định lý Pytago ta có:

\(\left|\overrightarrow{AF}\right|^2=a^2+\left(\frac{3a}{2}\right)^2=a^2+\frac{9a^2}{4}=\frac{13a^2}{4}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AF}\right|=\sqrt{\frac{13a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}\)

Dễ tính được \(AM=\frac{\sqrt{5}a}{2}\)

Ta thấy M là trung điểm của BC tức \(MB=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow\widehat{AMB}=60^0\) 

\(AD//BC\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{AMB}=60^0\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\sqrt{a^2+\frac{5a^2}{4}-2\cdot a\cdot\frac{\sqrt{5}a}{2}\cdot\cos120}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}+\frac{\sqrt{5}a^2}{2}}=\sqrt{\frac{9a^2+2\sqrt{5}a^2}{4}}=\frac{a}{2}\sqrt{9+2\sqrt{5}}\)

Chắc vậy ạ 

Sai thì thông cảm mk nha

Chọn đáp án B