Chờ x, y dương ; x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1/x+1/y=2/x+y ?
chờ x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.CMR
\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le1\)
Ta chứng minh
\(a+b\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\ge0\)(đúng )
Áp đụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+1}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)
Giải:
Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\left(abc=1\right)\) ta có:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\) do \(a+b>0\) và \(a^2+b^2-ab\ge ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+1\ge\left(a+b\right)ab+abc=ab\left(a+b+c\right)>0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
\(\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{\left(a+b+c\right)}\left(c+a+b\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
chờ x,y,z dương thỏa mãn ( x + y lớn hơn hoặc bằng 3)
CMR : x + y + 1/(2x) + 2/y lớn hơn hoặc bằng 9
Giúp mình với, mình đang rất gấp, sẽ hậu tạ sau nha, bạn muốn gì cũng được. OK!!!!
chờ x,y,z dương thỏa mãn ( x + y lớn hơn hoặc bằng 3)CMR : x + y + 1/(2x) + 2/y lớn hơn hoặc bằng 9Giúp mình với, mình đang rất gấp, sẽ hậu tạ sau nha, bạn muốn gì cũng được. OK!!!!
chờ x,ý là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và có giá trị dương nếu giá trị của đại lượng x giảm đi 20 phần trăm của đại lượng y tăng lên................phần trăm
giúp mình với
Chờ hàm số y=f(x)có đạo hàm f'(x)=2x^2+2x.hàm số y=-3f(x) đồng biến trên khoản
Cho A = 16x4 - 8x3y + 7x2y2 - 9y4 ; -15x4 + 3x3y - 5x2y2 - 6y4 ; C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + 1 . Chứng minh rằng : Ít nhất 1 trong 3 đa thức có giá trị dương vs mọi x , y
PS : Nếu phân vân hoặc ko trả lời dc thì theo dõi để chờ đáp án vào CN tuần sau
Chờ x, y là các số thực thỏa mãn :x^2 + y^2, x+y,x^4 + y^4 là các số nguyên.C/m 2x^2y^2,x^3 +y^3 cũng là các số nguyên
Chờ biểu thức A=2,5 x y + 4,8 A.Tính giá trị của biểu thức khi y= 1,6. B.Tìm y để A =20,3.
a: A=2,5*1,6+4,8=4+4,8=8,8
b: A=20,3
=>2,5y+4,8=20,3
=>2,5y=15,5
=>y=6,2
chờ a,b là các số dương. chứng minh a/b+b/a>=2
<=>a^2+b^2>=2ab
=> bdt duoc cminh, dau = <=> a=b
áp dụng bất đẳng thức cô si là ra
ĐPCM <=> (a/b + b/a) ab >= 2ab
<=> a^2 + b^2 >= 2ab
<=> (a-b)^2 >=0 (*)
Vì (*) đúng => ĐPCM đúng
chờ a,b,c dương thỏa mãn a+b+c = 1/(abc) tìm max P=(a+b)(a+c)