Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Gọi A’, B’, M,
N lần lượt là trung điểm của BC, CA, HA, HB.
a) Chứng minh MNA’B’ là hình chữ nhật.
b)* Gọi C’, P lần lượt là trung điểm của AB, HC. Chứng
minh MA’, NB’, CP’ đồng quy
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H nội tiếp (O) (BC < 2R). Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB và P, M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên BC, DF, DE. Gọi Q là hình chiếu vuông góc của H lên AD. Chứng minh PMQN là tứ giác điều hòa.
cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ các đường trung trực OM và ON của các cạnh BC, CA (O là giao điểm của hai đường trung trực, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác AHG và AOG
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi H,G,O lần lượt là trực tâm , trọng tâm giao điểm ba đường trung trực của tam giác do. tia AG cắt BC ở M. Gọi I là trung điểm cua GA, K là trung điểm của GH. Chứng minh
a) OM=1/2 AH
b) Tam giác IGK= Tam giác MGO
c) Ba điểm H,G,O thẳng hàng
d) GH = 2GO
a/
O là giao 3 đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC
Nối AO cắt đường trong (O) tại E ta có
\(\widehat{ABE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BE\perp AB\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\)
=> BE//CH (1)
Ta có
\(\widehat{ACE}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow CE\perp AC\)
H là trực tâm tg ABC \(\Rightarrow BH\perp AC\)
=> CE//BH (2)
Từ (1) và (2) => BHCE là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Do trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà G là trọng tâm tg ABC => M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm của HE => MH = ME
Xét tg AHE có
MH=ME (cmt)
OA=OE
=> OM là đường trung bình của tg AHE \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\)
b/
Ta có M là trung điểm của BC (cmt) => OM là đường trung trực của BC \(OM\perp BC\)
\(AH\perp BC\)
=> OM//AH
Xét tg AGH có
IA=IG (gt)
KH=KG (gt)
=> IK là đường trung bình của tg AGK => IK//AH mà OM//AH (cmt)
=> IK//OM \(\Rightarrow\widehat{GIK}=\widehat{GMO}\) (góc so le trong) (4)
IK là đường trung bình của tg AGH \(\Rightarrow IK=\dfrac{1}{2}AH\) mà \(OM=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt) => IK = OM (5)
G là trong tâm tg ABC => \(GM=\dfrac{1}{2}AG\) mà \(IG=\dfrac{1}{2}AG\)
=> IG=GM (6)
Từ (4) (5) (5) => tg IGK = tg MGO (c.g.c)
c/
Nối H với O cắt AM tại G' Xét tg AHE
MH=ME (cmt) => AM là trung tuyến của tg AHE
OA=OE => HO là trung tuyến của tg AHE
=> G' là trọng tâm của tg AHE \(\Rightarrow G'M=\dfrac{1}{3}AM\)
Mà G là trọng tâm của tg ABC \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\)
\(\Rightarrow G'\equiv G\) => H; G; O thẳng hàng
d/
Do G là trọng tâm của tg AHE => GH=2GO
Bài 1. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA; D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB và HC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật.
b) Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì tam giác ABC phải là tam giác gì?
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh: vecto OM = vecto AN
Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh AH=2MO, Bh=2NO
Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
Gọi R, S, T lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC.
a ) Tứ giác MPTS là hình gì ?
b ) Chứng minh 3 đường thẳng RN, MT, SP đồng quy.
bạn lên mạng đánh mấy chữ đầu rồi tìm là ra ý mà hihihi^^
MP là đường trung bình của \(\Delta ABC\Rightarrow\hept{\begin{cases}MP//BC\\MP=\frac{1}{2}BC\end{cases}}\)
ST là đường trung bình của \(\Delta OBC\Rightarrow\hept{\begin{cases}ST//BC\\ST=\frac{1}{2}BC\end{cases}}\)
Do đó: MP//ST và MP = ST
\(\Rightarrow MPTS\)là hình bình hành \(\Rightarrow\)MT và SP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (1)
b, Bạn c/m SNPR là hình bình hành . (tương tự như ý a)
\(\Rightarrow\)SP và RN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. (2)
Từ (1) và (2), ta được RN,MT,SP đồng quy.
Chúc bạn học tốt.
b,
Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA; R, S, T lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC
a) Tứ giác MPTS là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba đường thẳng RN,MT, SP đồng quy
c) Với điều kiện nào của tam giác ABC thif MR= RP= MS
