a) Xét ΔCHA và ΔCAB ta có:

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta CHA\)∼\(\Delta CAB\left(g.g\right)\)

b)Xét ΔABC vuông tại A, áp dụng địn lí py-ta-go ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\\ \Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2\)

             \(=20^2-16^2\)

             \(=144\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{144}=12cm\)

vì ΔCHA∼ΔCAB(cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AC}{CH}=\dfrac{BC}{AC}hay\dfrac{12}{AH}=\dfrac{16}{CH}=\dfrac{20}{16}=\dfrac{5}{4}\)

Suy ra:

\(AH=\dfrac{12.4}{5}=9,6cm\)

\(CH=\dfrac{16.4}{5}=12,8cm\)

Xét ΔAHC có AD là phân giác ta có:

\(\dfrac{AH}{HD}=\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{AH+AC}{CH}hay\dfrac{9,6}{HD}=\dfrac{16}{DC}=\dfrac{16+9,6}{12,8}=2\)

\(\Rightarrow DC=\dfrac{16}{2}=8cm\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

2:

a: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

góc HAB=góc HCA

=>ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>HA/HC=HB/HA

=>HA^2=HB*HC

b: BC=4+9=13cm

AH=căn 4*9=6cm

S ABC=1/2*6*13=39cm²

a: BC=4+5=9(cm)

\(AB=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{5\cdot9}=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)

b: \(BH=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)

\(CH=\dfrac{AH^2}{BH}=4,5\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{6^2+4.5^2}=7,5\left(cm\right)\)

a) Xét ΔHBA và ΔABC có

\(\widehat{B }\) chung

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\)=90^o

=> ΔHBA ∼ ΔABC (gg)

b) xét ΔABC có \(\widehat{BAC} \)=90^o

=> AC²+AB²=BC² (đl pitago)

=>16²+12²=BC²

=> BC=20 cm

Ta có S_ΔABC=\(\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{AH.BC}{2}\)

=> AB.AC=AH.BC

=>12.16=AH.20

=> AH=9.6

Xét ΔABH có \(\widehat{BHA}\)=90^o

=> HA²+HB²=AB² (đl pitago)

=>9.6² + HB²=12²

=> HB=7.2 cm

c) Xét ΔABC có

AD là phân giác (D∈BC)

=> \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)(tc đường pg trong Δ)

=>\(\dfrac{BD}{BC-BD}=\dfrac{3}{4}\)=>\(\dfrac{BD}{20-BD}=\dfrac{3}{4}\)

=> BD=\(\dfrac{60}{7}\) cm

=> CD=20 - \(\dfrac{60}{7}\)=\(\dfrac{80}{7}\) cm

d) Xét ΔAHC có

KN // HC (MN//BC , K ∈ MN , H∈ BC,(K∈AH ,N∈AC))

=> \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{KN}{HC}\)( hệ quả đl ta-lét)

=>\(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3.6}{9.6}=\dfrac{KN}{HC}\)

Xét ΔABC có

MN// BC (M∈AB ,N∈AC)

=> \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\)=>\(\dfrac{3.6}{9.6}=\dfrac{MN}{20}\) => MN =7.5 cm

KH=AH-KH =9.6-3.6=6 cm

Xét tg MNCB có MN//BC 

=> tg MNCB là hình bình hành (dhnb)

có AH⊥BC => KH⊥BC (K∈AH)

=> S_BMNC = \(\dfrac{KH.\left(MN+BC\right)}{2}\)=\(\dfrac{6.\left(7.5+20\right)}{2}\)=82.5cm²

Bài 2: 

b: \(AH\cdot\left(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\right)\)

\(=AH\cdot\left(\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}\right)\)

\(=AH\cdot\dfrac{BC}{AH}=BC\)

Đề sai rồi bạn

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có 

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\)

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔHAC

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AH^2=HB\cdot HC\end{matrix}\right.\)(hệ thức lượng)

c: \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=12\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12\cdot16}{20}=9.6\left(cm\right)\)

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=7.2\left(cm\right)\)

Vì S_ABC=37,5=>AH.BC=75=>BC=12,5

Đặt cạnh CH=x

=>HB=12,5-x

Áp dụng hệ thức 2 vào tam giác abc

AH²=BH.CH

<=>6²=x(12,5-x)

<=>36=12,5x-x²

<=>x²-12,5x+36=0

<=>(x-6,25)²=3

..............tìm x sau đó thay vào tìm ab,ac