Xét tam giác ABC cân tại A

có AD là đường cao 

nên AD là đường trung tuyến 

nên BD = CD = \(\frac{1}{2}BC\)

có \(\widehat{HBD}+\widehat{BHD}=90^0\)

\(\widehat{CAD}+\widehat{AHE}=90^0\)

\(\widehat{BHD}=\widehat{AHE}\)(đối đỉnh)

nên \(\widehat{HBD}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác ADC và tam giác BDH

có \(\widehat{BDH}=\widehat{ADC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{HBD}=\widehat{CAD}\)(cmt)

nên tam giác ADC đồng dạng với tam giác BDH

suy ra \(\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{DH}\Rightarrow AD\cdot DH=BD\cdot CD\Rightarrow AD\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{4}BC^2\)

do đó \(4\cdot AD\cdot DH=BC^2\)

Gọi F là điểm đối xứng của CC qua AA

Ta được \(AF=AC=AB\)

\(A,F,C\)thẳng hàng

\(\Rightarrow\Delta BFC\perp B\)

Ta có: \(\Delta ABC\)cân tại A(gt)

\(AD\perp BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BD=DC\)

mà \(AF=AC\)

\(\Rightarrow AD\)//\(BF\)mà \(AD=\frac{BF}{2}\)(tính chất đường trung bình)

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta BFC\perp B\)đường cao BE ta được:

\(\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{BF^2}+\frac{1}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{4AD^2}+\frac{1}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4k^2}=\frac{1}{4n^2}+\frac{1}{4m^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{k^2}=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{m^2}\left(đpcm\right)\)

#Shinobu Cừu

ΔABC cân tại A

mà AD là trung tuyến

nên AD là đường cao

Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

=>A,H,D thẳng hàng

10

AD=1/2BE

=> AD=1/2 . 10

=> AD = 5

(Đúng nha... tớ đúng câu này :)))))))