ai biêt

Thay tọa độ A vào 2 pt trung tuyến đều không thỏa mãn

\(\Rightarrow\) 2 trung đó đó xuất phát từ B và C, giả sử trung tuyến xuất phát từ B có pt x-2y+1=0 và từ C có pt y=1

\(\Rightarrow B\left(2b-1;b\right)\) ; \(C\left(c;1\right)\)

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) G là giao điểm 2 trung tuyến nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+2b-1+c=3.1\\3+b+1=3.1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1\\c=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B\left(-3;-1\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\)

Biết 3 tọa độ 3 đỉnh của tam giác, dễ dàng viết được phương trình các cạnh

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

AB đi qua A (1; -1) nên nó có phương trình là

x - 1 + 2 (y + 1) = 0 hay x + 2y + 1 = 0

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M ∈ Δ, tọa độ của M có dạng

M (t ; 2t + 1) với t là số thực và \(\overrightarrow{AM}=\left(t-1;2t+2\right)\)

⇒ AM ⊥ Δ 

⇒ \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\)

⇒ t + 1 + 2. (2t + 2) = 0

⇒ t = -1

Vậy M (- 1; - 1)

M là trung điểm của AB => Tọa độ B

Làm tương tự như thế sẽ suy ra tọa độ C

Cách làm 2 câu tương tự nhau.

a.

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;3\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (3;-2) là 1 vtpt

Phương trình AB (qua A) có dạng:

\(3\left(x-1\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x-2y-1=0\)

\(\overrightarrow{HA}=\left(1;1\right);\overrightarrow{HB}=\left(3;4\right)\)

Do BC vuông góc AH nên nhận (1;1) là 1 vtpt

Phương trình BC (đi qua B) có dạng:

\(1\left(x-3\right)+1\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+y-7=0\)

Do AC vuông góc HB nên nhận (3;4) là 1 vtpt

Phương trình AC (đi qua A) có dạng:

\(3\left(x-1\right)+4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x+4y-7=0\)

Câu b hoàn toàn tương tự

Giả sử M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, P là trung điểm BC

\(\Rightarrow\) MN, MP, NP là các đường trung bình của tam giác

\(\Rightarrow MN||BC\) ; \(MP||AC\) ; \(NP||AB\)

\(\overrightarrow{MN}=\left(3;2\right);\overrightarrow{MP}=\left(1;-5\right);\overrightarrow{PN}=\left(2;7\right)\)

\(\Rightarrow\) BC, AC, AB có vecto chỉ phương lần lượt là (3;2); (1;-5); (2;7)

Phương trình chính tắc BC qua P có dạng: \(\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y+4}{2}\)

Phương trình chính tắc AC qua N có dạng: \(\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-3}{-5}\)

Phương trình chính tắc AB qua M có dạng: \(\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{7}\)

Do G thuộc y=x nên tọa độ G có dạng: \(G\left(g;g\right)\)

Do C thuộc \(x+y+4=0\) nên tọa độ có dạng: \(C\left(c;-c-4\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1+1+c=3.g\\0+2-c-4=3g\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3g=0\\-c-3g=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\g=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(-1;-3\right)\)

Biết tọa độ 3 đỉnh, dễ dàng viết pt các cạnh