Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?

\(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+ac\right)-\left(a+b\right)\left(b^2+bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-b^2+ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=0\)hoặc \(a-b=0\)hoặc \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)(Không thỏa điều kiện) hoặc a=-b (Không thỏa điều kiện) hoặc a+b+c=0

<=> a+b+c=0 (đpcm)

Ta có: \(a+b+c=0\)

=> \(a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a\)

Do đó:

\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\)

\(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b\left(-a\right)\left(-c\right)=abc\)

\(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c\left(-b\right)\left(-a\right)=abc\)

=> M=N=P ( = abc)

Ta có : a + b + c = 0

=> a + b = -c ; a + c = -b ; b + c = -a

Thế vào M, N, P :

=> M = a.(-c).(-b) = -abc

N = b.(-a).(-c) = -abc

P = c.(-b).(-a) = -abc

Vậy M = N = P.

Lời giải:

Sửa đề: \(\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

Xét

\(B=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

\(B^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}+2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}.\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

\(=a+2\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b)}{4}}=a+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow B=\sqrt{a+\sqrt{b}}\) (do B không âm.)

Hoàn toàn tt, \(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a-\sqrt{b}}\)

Bài 1: D

Bài 2:

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}\pm1=\frac{c}{d}\pm1\)

\(\Rightarrow\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}\)(đpcm)

không biêt đâu

Bài làm:

Ta có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)

Thay vào ta được: \(\hept{\begin{cases}M=a\left(-c\right)\left(-b\right)=abc\\N=b\left(-a\right)\left(-c\right)=abc\\P=c\left(-b\right)\left(-a\right)=abc\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=N=P\)

Đề bạn bị nhầm 1 chút nhé, N = b(b+c)(a+b)

Chú ý: a+b=-c

b+c=-a

a+c=-b

thay các biểu thức này vào thì ta được M=N=P=abc

Từ a+b+c=0 => a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a

Mặt khác: M=a(a+b)(a+c)=a(-c)(-b)=abc

N=b(b+c)(b+a)=b(-a)(-c)=abc

P=c(c+a)(c+b)=c(-b)(-a)=abc

=>M=N=P (đpcm)

a+b+c=0 <=>a+b = -c , b+c= -a , c+a = -b

Khi đó thay a+b = -c, b+c = -a , c+a = -b vào thì ta được 

M=-abc

N=-abc

P=-abc

=> M=N=P

\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(=a^3+a^2+a^2b+abc\)

\(=a^2\left(a+b+c\right)+abc=abc\)

\(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)\)

\(=b^3+b^2c+b^2a+abc\)

\(=b^2\left(a+b+c\right)+abc=abc\)

\(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(=c^3+c^2a+c^2b+abc\)

\(=c^2\left(a+b+c\right)+abc=abc\)

\(\Rightarrow M=N=P\)

Ta có: 

a + b + c =0 

=> a + b = -c 

a+ c = - b 

b + c = - a 

Do đó:

M = a ( a + b) ( a + c ) = a ( - c ) (   - b ) = abc

N = b ( b+c ) ( b + a ) = b ( - a) (  - c) = abc 

P = c ( c + a) ( c + b) = c ( - b) ( - a) = abc 

<=> M = N = P ( = abc) 

^^ Chúc bạn học tốt!!!