\(1,\\ a,2^x=16=2^4\Rightarrow x=4\\ b,3^{x+1}=9^x=3^{2x}\\ \Rightarrow x+1=2x\Rightarrow x=1\\ c,2^{3x+2}=4^{x+5}=2^{2\left(x+5\right)}\\ \Rightarrow3x+2=2x+10\Rightarrow x=8\\ d,3^{2x-1}=243=3^5\\ \Rightarrow2x-1=5\Rightarrow x=3\\ 2,\\ a,2^{225}=8^{75}< 9^{75}=3^{150}\\ b,2^{91}=\left(2^{13}\right)^7=8192^7>3125^7=\left(5^5\right)^7=5^{35}\\ c,99^{20}=\left(99^2\right)^{10}< \left(99\cdot101\right)^{10}=9999^{10}\\ 3,\\ a,12^8\cdot9^{12}=2^{16}\cdot3^8\cdot3^{24}=2^{16}\cdot3^{32}=\left(2\cdot3^2\right)^{16}=18^{16}\\ b,75^{20}=\left(3\cdot5^2\right)^{20}=3^{20}\cdot5^{40}=\left(3^{20}\cdot5^{10}\right)\cdot5^{30}=\left(3^2\cdot5\right)^{10}\cdot5^{30}=45^{10}\cdot5^{30}\)

Bài 1:

a) \(\Rightarrow2^x=2^4\Rightarrow x=4\)

b) \(\Rightarrow3^{x+1}=3^{2x}\Rightarrow x+1=2x\Rightarrow x=1\)

c) \(\Rightarrow2^{3x+2}=2^{2x+10}\Rightarrow3x+2=2x+10\Rightarrow x=8\)

d) \(\Rightarrow3^{2x-1}=3^5\Rightarrow2x-1=5\Rightarrow x=3\)

Bài 2:

a) \(2^{225}=\left(2^3\right)^{75}=8^{75}< 9^{75}=\left(3^2\right)^{75}=3^{150}\)

b) \(2^{91}=\left(2^{13}\right)^7=8192^7>3125^7=\left(5^5\right)^7=5^{35}\)

c) \(99^{20}=\left(99^2\right)^{10}=9801^{10}< 9999^{10}\)

Bài 3:

a) \(12^8.9^{12}=\left(4.3\right)^8.9^{12}=4^8.3^8.9^{12}=2^{16}.9^4.9^{12}=2^{16}.9^{16}=\left(2.9\right)^{16}=18^{16}\)

b) \(75^{20}=\left(75^2\right)^{10}=5625^{10}=\left(45.125\right)^{10}=45^{10}.125^{10}=45^{10}.5^{30}\)

2225 = 23.75 = (23)75 = 875

3150 = 32.75 = (32)75=975

8 < 9 ⇒ 875 < 975

Vậy : 2225 < 3150

Bài 1 : 

Phương trình <=> 2^x . x² = ( 3y + 1 ) ² + 15

Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)

( Vì số  chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 ) 

\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)

Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)

Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2^k . 2k + 3y + 1 > 2^k .2k - 3y-1>0

Vậy ta có các trường hợp: 

\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)

\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)

Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 ) 

Bài 3: 

Giả sử \(5^p-2^p=a^m\)    \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)

Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)

Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)

Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có

\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\)    \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)

Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)

\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)

Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)

Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý

\(\rightarrowĐPCM\)

Bài 4:

Ta đặt: \(S=6^m+2^n+2\)

TH1: n chẵn thì:

\(S=6^m+2^n+2=6^m+2\left(2^{n-1}+1\right)\)

Mà \(2^{n-1}+1⋮3\Rightarrow2\left(2^{n-1}+1\right)⋮6\Rightarrow S⋮6\)

Đồng thời S là scp

Cho nên: \(S=6^m+2\left(2^{n-1}\right)=\left(6k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow6^m+6\left(2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1\right)=36k^2\)

Đặt: \(A\left(n\right)=2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1=2^{n-3}+...+1\)là số lẻ

Tiếp tục tương đương: \(6^{m-1}+A\left(n\right)=6k^2\)

Vì A(n) lẻ và 6k^2 là chẵn nên: \(6^{m-1}\)lẻ\(\Rightarrow m=1\)

Thế vào ban đầu: \(S=8+2^n=36k^2\)

Vì n=2x(do n chẵn) nên tiếp tục tương đương: \(8+\left(2^x\right)^2=36k^2\)

\(\Leftrightarrow8=\left(6k-2^x\right)\left(6k+2^x\right)\)

\(\Leftrightarrow2=\left(3k-2^{x-1}\right)\left(3k+2^{x-1}\right)\)

Vì \(3k+2^{x-1}>3k-2^{x-1}>0\)(lớn hơn 0 vì 2>0 và \(3k+2^{x-1}>0\))

Nên: \(\hept{\begin{cases}3k+2^{x-1}=2\\3k-2^{x-1}=1\end{cases}}\Leftrightarrow6k=3\Rightarrow k\notin Z\)(loại)

TH2: n là số lẻ

\(S=6^m+2^n+2=\left(2k\right)^2\)(do S chia hết cho 2 và S là scp)

\(\Leftrightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}+1=2k^2\)là số chẵn

\(\Rightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}\)là số lẻ

Chia tiếp thành 2TH nhỏ: 

TH2/1: \(3\cdot6^{m-1}\)lẻ và \(2^{n-1}\)chẵn với n là số lẻ

Ta thu đc: m=1 và thế vào ban đầu

\(S=2^n+8=\left(2k\right)^2\)(n lớn hơn hoặc bằng 3)

\(\Leftrightarrow2^{n-2}+2=k^2\)

Vì \(k^2⋮2\Rightarrow k⋮2\Rightarrow k^2=\left(2t\right)^2\)

Tiếp tục tương đương: \(2^{n-2}+2=4t^2\)

\(\Leftrightarrow2^{n-3}+1=2t^2\)

\(\Leftrightarrow2^{n-3}\)là số lẻ nên n=3

Vậy ta nhận đc: \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)

TH2/2: \(3\cdot6^{m-1}\)là số chẵn và \(2^{n-1}\)là số lẻ

Suy ra: n=1

Thế vào trên: \(6^m+4=4k^2\)

\(\Leftrightarrow6^m=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k-2=6^q\\2k+2=6^p\end{cases}}\Rightarrow p+q=m\)

Và \(6^p-6^q=4\)

\(\Leftrightarrow6^q\left(6^{p-q}-1\right)=4\Leftrightarrow6^q\le4\Rightarrow q=1\)(do là tích 2 stn)

\(\Rightarrow k\notin Z\)

Vậy \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)

P/S: mk không kiểm lại nên có thể sai