a) Do MN song song với Ox nên \(\alpha  = \widehat {OMN} = \widehat {ONM} = \widehat {NOx'}\)

Mà \(\widehat {xON} = {180^o} - \widehat {NOx'} = {180^o} - \alpha \)

\( \Rightarrow \widehat {xON} = {180^o} - \alpha \)

b) Dễ thấy: Điểm N đối xứng với M qua trục Oy

\( \Rightarrow N( - {x_0};{y_0})\)

Lại có: điểm N biểu diễn góc \({180^o} - \alpha \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin ({180^o} - \alpha ) = {y_N} = {y_0}\\\cos ({180^o} - \alpha ) = {x_N} =  - {x_0}\end{array} \right.\);

Mà: \(\sin \alpha  = {y_0};\;\cos \alpha  = {x_0}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \;\\\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \cos \alpha \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan ({180^o} - \alpha ) =  - \tan \alpha \;\\\cot ({180^o} - \alpha ) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\)

a) Khi \(\alpha  = {90^o}\), điểm M trùng với điểm C. (Vì \(\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}\))

Khi \(\alpha  < {90^o}\), điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi \(\alpha  > {90^o}\), điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}\)

Vì \(OM = R = 1\); \({x_0} \in \)tia \(Ox\)nên \({x_0} > 0\); \({y_0} \in \)tia \(Oy\)nên \({y_0} > 0\)

Vậy \(\cos \alpha \) là hoành độ \({x_0}\)của điểm M, \(\sin \alpha \) là tung độ \({y_0}\) của điểm M.

Tham khảo:

M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \).

Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Khi đó \(\cos \alpha  = {x_0};\;\;\sin \alpha  = {y_o}\)

Trường hợp 1:  \(\alpha  = {90^o}\)

Khi đó \(\alpha  = {180^o} - \alpha  = {90^o}\)

Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.

Và  \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  =  - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = 0;\\\sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin {90^o} = 1.\\\cot \alpha  = 0\end{array} \right.\)

Không tồn tại \(\tan \alpha \) với \(\alpha  = {90^o}\)

Trường hợp 2: \(\alpha  < {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha  > {90^o}\)

M nằm bên phải trục tung

M’ nằm bên trái trục tung

Dễ thấy: \(\widehat {M'OC} = {180^o} - \widehat {xOM'} = {180^o} - \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \alpha  = \widehat {xOM}\)

\( \Rightarrow \widehat {M'OB} = {90^o} - \widehat {M'OC} = {90^o} - \widehat {MOA} = \widehat {MOB}\)

Xét tam giác \(M'OB\) và tam giác \(MOB\)  ta có:

\(OM = OM'\)

\(\widehat {M'OB} = \widehat {MOB}\)

OB chung

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MOB = \Delta M'OB\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = OM'\\BM = BM'\end{array} \right.\end{array}\)

Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.

Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Mà \(M\left( {{x_0};{y_o}} \right)\) nên \(M'\left( { - {x_0};{y_o}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - {x_0} =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

Trường hợp 3: \(\alpha  > {90^o} \Rightarrow {180^o} - \alpha  < {90^o}\)

Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.

Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Như vậy

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - {x_0} =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {y_o} = \sin \alpha .\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

Kết luận: Với mọi \({0^o} < \alpha  < {180^o}\), ta luôn có

\(\begin{array}{l}\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha ;\\\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha .\\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \;\;\;(\alpha  \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}\)

a)  Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

     Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b)  Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha \,\,v\`a \,\, - \alpha \)

Hai mặt phẳng (AB′D′)(AB′D′) và (A′C′D)(A′C′D) có giao tuyến là EFEF như hình vẽ.

Hai tam giác ΔA′C′D=ΔD′AB′ΔA′C′D=ΔD′AB′ và EFEF là đường trung bình của hai tam giác nên từ A′A′ và D′D′ ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EFEF sẽ là chung một điểm HH như hình vẽ.

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A′HA′H và D′HD′H.

Tam giác DEFDEF lần lượt có D′E=D′B′2=√132D′E=D′B′2=132, D′F=D′A2=52D′F=D′A2=52, EF=B′A2=√5EF=B′A2=5.

Theo hê rông ta có: SDEF=√614SDEF=614. Suy ra D′H=2SDEFEF=√30510D′H=2SDEFEF=30510.

Tam giác D′A′HD′A′H có: cosˆA′HD′=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961cos⁡A′HD′^=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961.

Do đó ˆA′HD′≈118,4∘A′HD′^≈118,4∘ hay (ˆA′H,D′H)≈180∘−118,4∘=61,6∘(A′H,D′H^)≈180∘−118,4∘=61,6∘.

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra \alpha = \widehat{NP, PC}α=NP,PC​.

Ta có NP = \dfrac{SB}2 = \dfrac{\sqrt5}2NP=2SB​=25​​ và PC = AM = \sqrt 5PC=AM=5​;\\ NC = \sqrt{NA^2 + AC^2} = \sqrt{\dfrac14 + 8} = \dfrac{\sqrt{33}}2.NC=+=41​=233​​.

\Rightarrow \cos \widehat{NPC} = \dfrac{NP^2+PC^2-NC^2}{2.NP.PC} = \dfrac{\dfrac54 + 5 - \dfrac{33}4}{2.\dfrac{\sqrt5}2.\sqrt5} = -\dfrac25⇒cosNPC=2.NP.PCNP2+PC2−NC2​=2.25​​.5​45​+5−433​​=−52​.

Vậy \cos \alpha = \dfrac25cosα=52​.2/5

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra \alpha = \widehat{NP, PC}α=NP,PC​.

Ta có NP = \dfrac{SB}2 = \dfrac{\sqrt5}2NP=2SB​=25​​ và PC = AM = \sqrt 5PC=AM=5​;\\ NC = \sqrt{NA^2 + AC^2} = \sqrt{\dfrac14 + 8} = \dfrac{\sqrt{33}}2.NC=NA2+AC2​=41​+8​=233​​.

\Rightarrow \cos \widehat{NPC} = \dfrac{NP^2+PC^2-NC^2}{2.NP.PC} = \dfrac{\dfrac54 + 5 - \dfrac{33}4}{2.\dfrac{\sqrt5}2.\sqrt5} = -\dfrac25⇒cosNPC=2.NP.PCNP2+PC2−NC2​=2.25​​.5​45​+5−433​​=−52​.

Vậy \cos \alpha = \dfrac25cosα=52​.

a) 

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha  = \widehat {xOM}\)

Do đó: \(\sin \alpha  = \frac{{MH}}{{OM}} = MH;\;\cos \alpha  = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \;\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}\)

c) Với \(\alpha  \ne {90^o}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

Câu 1: 

Ta có: \(\cos\left(90^0-\alpha\right)=\sin\alpha\)

\(\Leftrightarrow\sin\alpha=1:\sqrt{\dfrac{1^2+2^2}{1}}=1:\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

Câu 2: 

a) \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}\)

\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{4}{5}:\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{3}\)