Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)

Nhân từng vế bđt trên =>đpcm

\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)

\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)

\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)

\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)

sửa dòng đầu: \(k,n\ge0\)

Ta có : x - y = 0 => x = y

Vì x = y => xy = x² = y² ≥ 0

=> xy ≥ 0 ( đpcm )

câu 2 khó rứa 

a/ Ta có   \(x-y=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=0\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-2xy=0\Leftrightarrow x^2+y^2=2xy\)

Ta có  \(x^2\ge0\) và  \(y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow2xy\ge0\)

b/ Ta có: \(x-y+z=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y+z\right)^2=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy-xz+yz\right)\)

Vì \(x^2\ge0\)và  \(y^2\ge0\)và  \(z^2\ge0\)nên  \(x^2+y^2+z^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(xy-xz+yz\right)\ge0\Leftrightarrow xy-xz+yz\ge0\)

a, \(x-y=0\Rightarrow x=y\)

Vì x,y cùng dấu nên \(xy\ge0\)

Hok tốt

mịa c đâu ra vậy

Ta có :

\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)

\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)

what la gi ?

Ta có: \(A=\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a-d}{d+b}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+a}+1+\frac{c-a}{a+d}+1\)

\(\Leftrightarrow A+4=\frac{a+b}{d+b}+\frac{d+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+d}{a+d}\)

\(\Leftrightarrow A+4=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{xy}\)với mọi x,y>0 

Ta có: \(A+4\ge\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(d+c\right)}{a+b+c+d}\)

\(A+4\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4\)

\(A\ge0\)(dpcm)

Ta có: \(\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{4abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+bc\right)\left(bc+ca\right)\left(ca+ab\right)}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{\frac{\left(ab+bc\right)+\left(bc+ca\right)+\left(ca+ab\right)}{3}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{9}{2\left(ab+ac+bc\right)}-\frac{1}{2}=1\)

Ta lại có: \(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\frac{1}{abc}\ge1\Rightarrow\frac{1}{2abc}\ge\frac{1}{2}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

a. `A>=0`.

A.

Vì \(a,b,c\ge0\)Nên ta nhân a+b+c vào hai vế của bất đẳng thức :

Ta được:\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{c}\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)-9\ge0\)⁽²⁾

Lại có \(ab\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) 

Tương tự:\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)⁽¹⁾

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow3+2+2+2-9\ge0\)(luôn đúng)

Vậy..........................................................................................

Dấu "=" <=> a=b=c

Nếu như tớ làm đúng thì bạn k cho tớ với nhé!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Thanks bạn trước! 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng engel , ta có 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

Áp dụng bđt cô si cho bộ số a,b,c >0

a+b+c>=3 * với căn bậc 3 của abc

1/a+1/b+1/c>=3 * căn bậc 3 của 1/abc

Nhân 2 vế đựợc (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9

=> đề bài (đpcm)