a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

Tâm O là trung điểm của BC

b: Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại D

Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{HFD}=\hat{HBD}\)

Xét tứ giác AFDC có \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)

nên AFDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AFD}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{AFD}+\hat{BFD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BFD}=\hat{BCA}\)

BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

Xét ΔEOC có \(\hat{EOB}\) là góc ngoài tại đỉnh O

nên \(\hat{EOB}=\hat{OEC}+\hat{OCE}=2\cdot\hat{ACB}\)

Ta có: \(\hat{AFE}+\hat{BFD}+\hat{EFD}=180^0\)

=>\(\hat{EFD}=180^0-2\cdot\hat{ACB}\)

=>\(\hat{EFD}+\hat{EOD}=180^0-2\cdot\hat{ACB}+2\cdot\hat{ACB}=180^0\)

=>EFDO là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EFD}+\hat{EOD}=180^0\)

mà \(\hat{EFD}+\hat{GFD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{GFD}=\hat{GOE}\)

Xét ΔGFD và ΔGOE có

\(\hat{GFD}=\hat{GOE}\)

góc FGD chung

Do đó: ΔGFD~ΔGOE

=>\(\frac{GF}{GO}=\frac{GD}{GE}\)

=>\(GF\cdot GE=GD\cdot GO\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H

Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE⊥AD tại E

Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AB^2\) (3)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

=>\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)

Xét ΔAEH và ΔAOD có

\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAOD

=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)

mà \(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHE}+\hat{ODE}=180^0\)

=>OHED là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{OHD}=\hat{OED}\)

mà \(\hat{OED}=\hat{ODE}\) (ΔOED cân tại O)

và \(\hat{ODE}=\hat{AHE}\)

nên \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\)