Ta có : \(A>\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{50.51}\)

\(\rightarrow A>\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{50}-\frac{1}{50}-\frac{1}{51}\)

\(\rightarrow A>\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{51}\right)\)

Xét : \(\frac{1}{9}-\frac{1}{51}>0\rightarrow A>\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)

Có A = 1/1² + 1/2²+ 1/3²+ ...+ 1/50²                                                                            => A< 1/1² + 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4+ ...+ 1/49*50                                                      A<  1+ 1- 1/2+ 1/2- 1/3 + 1/3- 1/4+ ...+ 1/49 - 1/50                                                      A<  1+  1-1/50 = 1+ 49/50.                                                                                          Mà 1+49/50 < 1+1=2.    => A<2 (ĐPCM)

Em ơi,chứng minh A gì nữa em????

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{50^2}\)

\(A=\dfrac{1}{2\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot3}+\dfrac{1}{4\cdot4}+...+\dfrac{1}{50\cdot50}\)

\(A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{50}\)

\(A=1\)

Vậy A=1

a) \(S=1+2+2^2+...+2^{100}\)

\(2S=2+2^2+2^3+...+2^{101}\)

\(2S-S=\left(2+2^2+...+2^{101}\right)-\left(1+2+...+2^{100}\right)\)

\(S=2^{101}-1\)

b) \(X=2^{2012}-2^{2011}-...-2-1\)

\(X=2^{2012}-\left(1+2+...+2^{2011}\right)\)

Đặt \(X=2^{2012}-Y\)

Ta có :

\(Y=1+2+...+2^{2011}\)

\(2Y=2+2^2+...+2^{2012}\)

\(2Y-Y=\left(2+2^2+...+2^{2012}\right)-\left(1+2+...+2^{2011}\right)\)

\(Y=2^{2012}-1\)

\(\Rightarrow X=2^{2012}-2^{2012}+1\)

\(\Rightarrow X=1\)

\(\Rightarrow2010X=2010\)