p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2

Nếu p=3k+1 => 2p+1=2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3 là hợp số (loại)

=>p=3k+2

=>4p+1=4(3k+2)+1=12k+8+1=12k+9 là hợp số (đpcm)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p sẽ có 2 dạng đó là: 3k + 1 và 3k + 2.

   Ta chia làm 2 trường hợp:

   - TH1: p = 3k + 1

   => 2p + 1 = 2.(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3.(2k + 1) là hợp số. 

   => TH này bị loại vì theo đề bài 2p + 1 phải là số nguyên tố.

   - TH2: p = 3k + 2

   => 2p + 1 = 2.(3k + 2) + 1 = 6k + 4 + 5 = 6k + 5 là số nguyên tố.

   => TH này được chọn vì đúng theo yêu cầu của đề bài.

   => 4p + 1 = 4.(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3.(4k + 3) là hợp số.

Vậy 4p + 1 là hợp số (ĐPCM).

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p sẽ có 2 dạng đó là: 3k + 1 và 3k + 2.

   Ta chia làm 2 dạng

   - Dạng 1: p = 3k + 1

   => 2p + 1 = 2.(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3.(2k + 1) là hợp số. 

   => Loại (vì 2p + 1 là số nguyên tố)

   - Dạng 2 : p = 3k + 2

   => 2p + 1 = 2.(3k + 2) + 1 = 6k + 4 + 5 = 6k + 5 là số nguyên tố.

   =>Chọn (vì 2p+1 là số nguyên tố)

   => 4p + 1 = 4.(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3.(4k + 3)  

=>4p+1 là hợp số.

Vậy nếu 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p sẽ có 2 dạng đó là: 3k + 1 và 3k + 2.

   Ta chia làm 2 trường hợp:

   - TH1: p = 3k + 1

   => 2p + 1 = 2.(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3.(2k + 1) là hợp số. 

   => TH này bị loại vì theo đề bài 2p + 1 phải là số nguyên tố.

   - TH2: p = 3k + 2

   => 2p + 1 = 2.(3k + 2) + 1 = 6k + 4 + 5 = 6k + 5 là số nguyên tố.

   => TH này được chọn vì đúng theo yêu cầu của đề bài.

   => 4p + 1 = 4.(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3.(4k + 3) là hợp số.

Vậy 4p + 1 là hợp số (ĐPCM).

 +) Với p=3k+1

Ta có : 2p + 1 = 2(3k+1)+1 = 6k + 2 +1 = 6k + 3 (chia hết cho 3 nên là hợp số) 

=>\(p\ne3k+1\)

+) Với p=3k+2

Ta có 2p +1= 2(3k+2) +1 = 6k +4 +1 = 6k + 5 

Vì \(p\ne3k+1\) nên ta chộn trường hợp này

=> 4p + 1 = 4(3k+2)+1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9=3(4k+3)    (chia hết cho 3)

Vậy 4p+1 là hợp số 

=>đpcm

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

Nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (với k \(\in\) N)

Nếu p = 3k + 1 thì 2p + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 và 1 < 3 < 2p + 1 nên 2p + 1 là hợp số (mâu thuẫn giả thiết)

Do đó, p = 3k + 2 => 4p + 1 = 12k + 9 chia hết cho 3 và 1 < 3 < 4p + 1 => 4p + 1 là hợp số (đpcm)

Để p và 2p+1 đều nguyên tố > 3 => p và 2p+1 đều ko chia hết cho 3

=> p chia 3 dư 1 hoặc 2 và 2p+1 chia hết cho 3 => p chia 3 dư 2 ; p có dạng 3k+2(k thuộc N)

Khi đó : 4p+1 = 4.(3k+2)+1 = 12k+8+1 = 12k+9 = 3.(4k+3) chia hết cho 3 

Mà 4p+1 > 3 => 4p+1 là hợp số (ĐPCM)