a) \(\left(a+b+c\right)-\left(a-b+c\right)=a+b+c-a+b-c=2b\)

b) \(\left(a+b-c\right)+\left(a-b\right)-\left(a-b-c\right)=a+b-c+a-b-a+b+c\)

                                                                                  \(=a+b\)

c) -(a-b-c)+(-a+b-c)-(-a-b+c) = -a+b+c-a+b-c+a+b-c = -a+3b-c

a, ( a + b + c ) - ( a - b + c )

= a + b + c - a + b - c

= 2b

b, ( a + b - c ) + ( a - b ) - ( a - b - c )

= a + b - c + a - b - a + b + c

= a + b

c, - ( a - b - c ) + ( - a + b - c ) - ( - a - b + c)

= - a - b - c - a + b - c + a - b + c

= a - b - c

\(a) \) \((a+b+c)-(a-b+c)\)

\(=a+b+c-a+b-c\)

\(=(a-a)+(b+b)+(c-c)\)

\(=0+b+b+0\)

\(=2b\)

\(b)\) \((a+b-c)+(a-b)-(a-b-c)\)

\(=a+b-c+a-b-a+b+c\)

\(=(a+a-a)+(b-b+b)-(c-c)\)

\(=a+b\)

\(c) \) \(-(a-b-c)+(-a+b-c)-(-a-b+c)\)

\(=-a+b+c-a+b-c+a+b-c\)

\(=-(a+a-a)+(b+b+b)-(c-c+c)\)                                                                         

\(=-a+3b-c\)

giups với

Vân dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{\left(a+3b\right)+\left(b+2c+a\right)}=\frac{2}{a+2b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{4}{\left(b+3c\right)+\left(c+2b+a\right)}=\frac{2}{b+2c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{4}{\left(c+3a\right)+\left(a+2b+c\right)}=\frac{2}{c+2a+b}\)

Cộng tất cả các vế bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức \(\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\le\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a+3b=b+2c+a\\b+3c=c+2a+b\Leftrightarrow a=b=c\\c+3a=a+2b+c\end{cases}}\)

Ta áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Áp dụng vào bài toán ta có : 

\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{a+3b+a+b+2c}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{4}{b+3c+2a+b+c}=\frac{4}{2a+2b+4c}=\frac{2}{a+b+2c}\)

\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{4}{c+3a+a+2b+c}=\frac{4}{4a+2b+2c}=\frac{2}{2a+b+c}\)

Cộng vế theo vế của bất đẳng thức ta được 

\(\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\)

=> ĐPCM

khó quá xem trên mạng

a) -a  -(b-a-c)

= -a  -b+a+c

=(-a+a) +(c-b)

=c-b

b) -(a-c)-(a-b+c)

= -(a-c)-a+b-c

=-(a-c)-(a-c)+b

tự nghĩa nhe buồn ngủ rồi nhớ k đấy hứa rồi

a) -a - (b-a-c) = - a - b + a + c

                    = (a-a) + (c-b)

                    = c-b

b) -(a-c) - (a-b+c) 

= - a + c - a + b - c

= -(a+a) + b + (c-c)

= - 2a + b

\(\frac{4}{3}B=-1+\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+...+\left(\frac{3}{4}\right)^{99}\)

\(B=-\frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^3+...+\left(\frac{3}{4}\right)^{100}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{7}{3}B=-1+\left(\frac{3}{4}\right)^{100}\Rightarrow B=\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{100}-1}{\frac{7}{3}}=\frac{3\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{100}-1\right]}{7}\)

Như vầy đủ gọn chưa bạn?

Đường ....... sai rồi :v 

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng engel (full name nhé) , ta có 

\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+a+1+b+1+c}=\frac{9}{3+a+b+c}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=1\)

k cho mik đi rồi mik giải cho

\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{1+1+1}{1+a+1+b+1+c}\)   

                                                                \(=\frac{3}{3+a+b+c}\ge\frac{3}{3+3}=\frac{1}{2}\)      (BĐT svac-xơ)

Dấu "=" xảy ra    \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=1\)

p/s: tham khảo

Cho mình hỏi, phân thức cuối cùng của câu a phải là \(\frac{1}{c+2a+b}\)chứ