hello

đọc xong đề bài chắc chết mất 

trời ơi những câu nào tương tự thì hỏi lmj hỏi 1 câu rồi tự làm tương tự!

hoa mắt, chóng mặt, sao nhiều thế bạn

Ta xét : n = 1     1! = 1²

         n = 2     1! +2! = 3

         n=3       1! + 2! + 3! = 9 =3²

         n = 4    1!+ 2! +3! + 4! =33

Với n >4 thì  n! = 1.2.3.........n là mội số chẳn .Nên 1!+2!+......+n! =33 cộng với một số chẳn bằng  sốcó chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3 .Nên nó không phải là số chính phương.

   Vậy chỉ  có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! +.......+n!là số chính phương.

Ta có: \(n^4+n^3+n^2=n^2\left(n^2+n+1\right)\)

Theo đề ra thì \(n^2\left(n^2+n+1\right)\) mà \(n^2\)là một số chính phương \(\Rightarrow n^2+n+1\)là 1 số chính phương.

Gọi \(n^2+n+1=k^2\) =>\(4n^2+4n+1+3\)= \(4k^2\)

=> \(\left(2n+1\right)^2+3=4k^2\) => \(\left(2k-2n-1\right)\left(2k+2n+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow2k-2n-1;2k+2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{3;1;-3;-1\right\}\)Và \(2k-2n-1;2k+2n+1\)phải đồng âm hoặc đồng dương,

Ta có bảng sau: 

Vậy n thỏa mãn đề bài là n=0 hoặc n=-1

Bài 1: Gọi ước chung lớn nhất của n + 1 và 7n + 4 là d

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\7n+4⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}7n+7⋮d\\7n+4⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ 7n+ 7 - 7n - 4 ⋮ d

⇒ (7n - 7n) + (7 - 4) ⋮ d ⇒0 + 3 ⋮ d ⇒ 3 ⋮ d ⇒ d \(\in\) Ư(3) = {1; 3}

Nếu n = 3 thì n + 1 ⋮ 3 ⇒ n = 3k - 1 khi đó hai số sẽ không nguyên tố cùng nhau.

Vậy để hai số nguyên tố cùng nhau thì n \(\ne\) 3k - 1

Kết luận: n \(\ne\) 3k - 1 

Đặt  \(n^4+n^3+n^2=a^2\left(a\in N\right)\)

Ta có : \(n^4-2n^3+n^2< a^2< n^4+2n^3+n^2\) 

\(\Leftrightarrow\left(n^2-n\right)^2< a^2< \left(n^2+n\right)^2\)\(\Rightarrow n^2-n< a< n^2+n\)

Mặt khác, ta lại có : \(n^2-n< n^2< n^2+n\) \(\Rightarrow a=n^2\Leftrightarrow a^2=n^4\)

\(\Leftrightarrow n^4+n^3+n^2=n^4\Leftrightarrow n^2\left(n+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\left(\text{nhận}\right)\\n=-1\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

Vậy n = 0 thoả mãn đề bài.