Chứng minh rằng: B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 với n là số tự nhiên
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh rằng: B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 với n là số tự nhiên
\(B=10^n+72n-1\)
\(=10^n-1-9n+81n\)
\(=99...9-9n+81n\)(\(n\)chữ số \(9\))
\(=9\times11...1-9n+81n\)(\(n\)chữ số \(1\))
\(=9\times\left(11...1-n\right)+81n\)(\(n\)chữ số \(1\))
Ta có: \(11...1-n⋮9\)(\(n\)chữ số \(1\)) vì tổng các chữ số của \(11...1\)là \(n\)nên \(11...1\equiv n\left(mod9\right)\).
Do đó \(9\times\left(11...1-n\right)⋮81\Leftrightarrow B⋮81\).
mod là gì vậy Đoàn Đức Hà ơi
Chứng minh rằng :A=10n+72n-1 chia hết cho 81 (n là số tự nhiên)
10^n+72n-1
=10^n-1+72n
=(10-1)[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1]+72n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1]-9n+81n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1-n]+81n
=9[(10^(n-1)-1)+(10^(n-2)-1)+...+(10-1)... + 81n
ta có 10^k - 1 = (10-1)[10^(k-1)+...+10+1] chia hết cho 9 =>9[(10^(n-1)-1) +(10^(n-2)-1) +... +(10-1) +(1-1)] chia hết cho 81 =>9[(10^(n-1)-1)+(10^(n-2)-1)+...+(10-1)... + 81n chia hết cho 81 =>đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 6. Chứng minh với mọi n ∈ N:
(a) 10n +18n−1 chia hết cho 27
(b) 10n +72n−1 chia hết cho 81
GẤP Ạ
a:Sửa đề: \(10^{n}+18n-1\) chia hết cho 27
Đặt \(A=10^{n}+18n-1\)
\(=\left(10^{n}-1\right)+18n=99\ldots9+18n\) (n chữ số 9)
=9(11...1+2n)⋮9
11..1+2n=n+2n=3n⋮3
=>A⋮9*3
=>A⋮27
b: Sửa đề: \(10^{n}+72n-1\)
Đặt \(B=10^{n}+72n-1\)
\(=\left(10^{n}-1\right)+72n\)
=99...9+72n(n chữ 9)
=9(11...1+8n)
11...1+8n=n+8n=9n⋮9
=>B⋮9*9
=>B⋮81
Đúng 2
Bình luận (0)
Để chứng minh hai bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý quy nạp và một số phép biến đổi đại số.
Bài (a): Chứng minh \(1 0^{�} + 18 � - 1\) chia hết cho 27Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ sở \(� = 1\)
\(1 0^{1} + 18 \cdot 1 - 1 = 10 + 18 - 1 = 27\)
27 chia hết cho 27, nên điều này đúng cho \(� = 1\).
Bước 2: Giả sử đúng với \(� = �\)
Giả sử \(1 0^{�} + 18 � - 1\) chia hết cho 27. Tức là:
\(1 0^{�} + 18 � - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27\)
Bước 3: Chứng minh với \(� = � + 1\)
Ta cần chứng minh rằng \(1 0^{� + 1} + 18 \left(\right. � + 1 \left.\right) - 1\) cũng chia hết cho 27.
\(1 0^{� + 1} + 18 \left(\right. � + 1 \left.\right) - 1 = 10 \cdot 1 0^{�} + 18 � + 18 - 1 = 10 \cdot 1 0^{�} + 18 � + 17\)
Thay \(1 0^{�}\) từ giả thiết:
\(= 10 \cdot 1 0^{�} + 18 � + 17 \equiv 10 \left(\right. 1 0^{�} + 18 � - 1 \left.\right) + 10 + 17 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27\)
Theo giả thiết \(1 0^{�} + 18 � - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27\):
\(\equiv 10 \cdot 0 + 10 + 17 \equiv 27 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27\)
Vậy \(1 0^{� + 1} + 18 \left(\right. � + 1 \left.\right) - 1\) chia hết cho 27.
Kết luận: Theo nguyên lý quy nạp, với mọi \(� \in \mathbb{�}\), \(1 0^{�} + 18 � - 1\) chia hết cho 27.
Bài (b): Chứng minh \(1 0^{�} + 72 � - 1\) chia hết cho 81Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ sở \(� = 1\)
\(1 0^{1} + 72 \cdot 1 - 1 = 10 + 72 - 1 = 81\)
81 chia hết cho 81, nên điều này đúng cho \(� = 1\).
Bước 2: Giả sử đúng với \(� = �\)
Giả sử \(1 0^{�} + 72 � - 1\) chia hết cho 81. Tức là:
\(1 0^{�} + 72 � - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 81\)
Bước 3: Chứng minh với \(� = � + 1\)
Ta cần chứng minh rằng \(1 0^{� + 1} + 72 \left(\right. � + 1 \left.\right) - 1\) cũng chia hết cho 81.
\(1 0^{� + 1} + 72 \left(\right. � + 1 \left.\right) - 1 = 10 \cdot 1 0^{�} + 72 � + 72 - 1 = 10 \cdot 1 0^{�} + 72 � + 71\)
Thay \(1 0^{�}\) từ giả thiết:
\(= 10 \cdot 1 0^{�} + 72 � + 71 \equiv 10 \left(\right. 1 0^{�} + 72 � - 1 \left.\right) + 10 + 71 m o d \textrm{ } \textrm{ } 81\)
Theo giả thiết \(1 0^{�} + 72 � - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 81\):
\(\equiv 10 \cdot 0 + 10 + 71 \equiv 81 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 81\)
Vậy \(1 0^{� + 1} + 72 \left(\right. � + 1 \left.\right) - 1\) chia hết cho 81.
Kết luận: Theo nguyên lý quy nạp, với mọi \(� \in \mathbb{�}\), \(1 0^{�} + 72 � - 1\) chia hết cho 81.
Tham khảo
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng A 10n 18.n 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên
Chứng minh rằng:
a) 2n+11..1 n thừa số chia hết cho 3
b) 10n+72n-1 chia hết cho 27
c) 10n+72n-1 chia hết cho 81
Chứng minh rằng 10n + 72n - 1 chia hết cho 81 với mọi n
10^n+72n-1
=10^n-1+72n
=(10-1)[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1]+72n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1]-9n+81n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1-n]+81n
=9[(10^(n-1)-1)+(10^(n-2)-1)+...+(10-1)... + 81n
Ta có:
10^k - 1 = (10-1)[10^(k-1)+...+10+1] chia hết cho 9
=>9[(10^(n-1)-1) +(10^(n-2)-1) +... +(10-1) +(1-1)] chia hết cho 81
=>9[(10^(n-1)-1)+(10^(n-2)-1)+...+(10-1)... + 81n chia hết cho 81
=>đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng n chữ số 1 {11...1} - 10n chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên
10n+72n-1 chia hết cho 81 ( n là số tự nhiên)
Gọi biểu thức trên là A.
Ta có:
A = 10n + 72n - 1
= 10n - 1 + 72n
10n - 1 = 999...999 (có n chữ số 9) = 9 x (111...111) (có n chữ số 1)
A = 10n - 1 + 72n = 9 x (111...111) + 72n
=> A : 9 + 8n = 111...111 - n + 9n
Ta thấy: 111...111 có n chữ số 1 có tổng các chữ số là n
=> 111...111 - n chia hết cho 9
=> A : 9 = 111...111 - n + 9n chia hết cho9
<=> A chia hết cho 81
=> ĐPCM
Đúng 0
Bình luận (0)
10^n+72n-1
=10^n-1+72n
=(10-1)[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1]+72n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1]-9n+81n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+...+10+1-n]+81n
=9[(10^(n-1)-1)+(10^(n-2)-1)+...+(10-1)... + 81n
ta có 10^k - 1 = (10-1)[10^(k-1)+...+10+1] chia hết cho 9 =>9[(10^(n-1)-1) +(10^(n-2)-1) +... +(10-1) +(1-1)] chia hết cho 81 =>9[(10^(n-1)-1)+(10^(n-2)-1)+...+(10-1)... + 81n chia hết cho 81 =>đpcm.
tích nha
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng
10n + 72n-1 chia hết cho 81 với n thuộc N
10n+72-1=10n-1-9n+81n
=999.....99(n chữ số)-9n+81n
=9(1111...1(n chữ số)+n)+81n
Ta dễ thấy rằng 111..1(n chữ số) và n có cùng số dư khi chia cho 9
nên 1111...1(n chữ số)-n chia hết cho 9
=> 9(111...1(n chữ số)-n) chia hết cho 81
Mà 81n cũng chia hết cho 81
=> 10n+72n-1 chia hết cho 81 với
n E N
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có:
\(10^n+72n-1\)
=\(10^n-1+72n\)
=\(\left(10-1\right)\left(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\right)+72n\)
=\(9\left(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\right)-9n+81n\)
=\(9\left(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1-n\right)+81n\)
=\(9\left[\left(10^{n-1}+1\right)+\left(10^{n-2}+1\right)+...+\left(10-1\right)\left(1-1\right)\right]+81n\)
Vì:
\(10^n-1=\left(10-1\right)\left(10^{n-1}+...+10+1\right)⋮9\)
\(\Rightarrow\)\(9\left[\left(10^{n-1}+1\right)+\left(10^{n-2}+1\right)+...+\left(10-1\right)\left(1-1\right)\right]⋮81\)
\(\Rightarrow\)\(9\left[\left(10^{n-1}+1\right)+\left(10^{n-2}+1\right)+...+\left(10-1\right)\left(1-1\right)\right]+81n⋮81\)
\(\Rightarrow10^n+72n-1⋮81\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời