a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\) 

\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\) 

Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\) 

                   \(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\) 

=> Đpcm 

b, Tương tự dùng tính chất chia hết

sao lớp 6 mk đã gạp rùi nhỉ

+ Ta có : \(n^5-n=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

+ \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 5 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮5\)

+ \(n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\)

\(B=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{7n}{15}+\frac{n}{5}+\frac{n}{3}\)

\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{15n}{15}\)

=> B là số nguyên

\(A=\frac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\) \(=\frac{n\left[n^3\left(n+1\right)+9n^2\left(n+1\right)+26n\left(n+1\right)+24\left(n+1\right)\right]}{120}\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left[n^3+9n^2+26n+24\right]}{120}\) \(=\frac{n\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+7n\left(n+2\right)+12\left(n+2\right)\right]}{120}\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+7n+12\right)}{120}\) \(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{120}\)

+ \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)là tích 5 số nguyên liên tiếp\

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮3\\n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮5\end{matrix}\right.\) (1)

+ trong 5 số nguyên liên tiếp tồn tại ít nhất 2 số chẵn liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮8\) ( do tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 ) (2)

+ Từ (1) và (2) => \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)

=> đpcm

+ \(C=\frac{n^3+3n^2+2n}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)

+ \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\) (3)

+ n và n + 2 là 2 số chẵn liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+2\right)⋮8\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮8\) (4)

+ Từ (3) và (4) \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮24\)

=> C là số nguyên

Ta CM : A= \(6n^5+15n^4+10n^3-n\)  chia hết cho 30

+A = \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n^3-n\right)\)= \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) => A chia hết cho 3 với mọi n thuộc N

+A= \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+\left(n^4-n\right)\) = \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)=> A chia hết cho 2 .

+ A = \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+\left(n^5-n\right)\)= \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) chiaa hết cho  5 ( bạn chứng minh ccais cuối chia hết cho 5 = 5 TH)

=> A chia hết cho 2 .3.5 = 30

=> dpcm

Mình camon nha =))

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

a, (n+3)²-(n-1)²

= n²+6n+9-n²+2n-1

= 8n + 8

= 8(n+1) chia hết cho 8